摆线:修订间差异
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摆线也是[[最速降线问题]]和[[等时降落问题]]的解。 |
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== 历史 == |
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过原点半径为r的摆线参数方程为 |
过原点半径为r的摆线参数方程为 |
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通过替换解出t可以求的[[笛卡尔坐标系|笛卡尔坐标方程]]为 |
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一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定: |
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于是可以求得 |
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A &= \int_{x=0}^{x=2 \pi r} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\ |
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&= 3 \pi r^2. |
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弧形的长度可以由下面的式子计算出: |
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S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \ |
S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \sqrt{\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2} \, dt \\ |
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&= 8r. |
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== 其它相关联的曲线 == |
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一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时,我们得到了短擺線 |
一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时,我们得到了短擺線(curtate cycloid)和長擺線(prolate cycloid),兩者合稱為[[次擺線]](trochoid),前面的情形是定点在圆的内部,后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步,如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话,我们会得到[[外摆线]](epicycloid,沿着圆的外部运动,定点在圆的边缘),[[内摆线]](hypocycloid,沿着圆内部滚动,定点在圆的边缘)以及[[外旋轮线]](epitrochoid)和[[内旋轮线]](hypotrochoid,定点可以在圆内的任一点包括边界。) |
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== 应用 == |
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[[File:Kimbell Art Museum.jpg|thumb|Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum]] |
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在建筑物的设计方面,摆线曾被[[ |
在建筑物的设计方面,摆线曾被[[路易·卡恩]]用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑{{link-en | 金贝尔艺术博物馆 | Kimbell Art Museum}}。 |
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它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。 |
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== 参考 == |
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* '''An application from physics''': Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a [[ |
* '''An application from physics''': Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a [[圆柱体|cylinder]] tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 {{Wayback|url=http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 |date=20191018160008 }} |
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* {{cite book | author = Wells D | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 445–47}} |
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== 外部 |
== 外部链接 == |
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* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml Cycloids] at [[cut-the-knot]] |
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* [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=02260001&seq=9 A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves], monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by [http://historical.library.cornell.edu/math/index.html Cornell University Library]. |
* [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=02260001&seq=9 A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves] {{Wayback|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=02260001&seq=9 |date=20040531231724 }}, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by [http://historical.library.cornell.edu/math/index.html Cornell University Library] {{Wayback|url=http://historical.library.cornell.edu/math/index.html |date=20060127232450 }}. |
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[[uk:Циклоїда]] |
2023年5月22日 (一) 08:03的版本
此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年4月22日) |
在数学中,摆线(Cycloid)被定义为,一个圆在一条直线上滚动时,圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。摆线亦称圆滚线。
历史
摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉,之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线一拱的區域面积是滾動圆的面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是滾動圆的直径的四倍。在这一时期,伴随着许多发现,也出现了众多有关发现权的争议,甚至抹杀他人工作的现象,而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。[1]
方程式
过原点半径为r的摆线参数方程为
在这里实参数t是在弧度制下,圆滚动的角度;摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。对每一个给出的t,圆心的坐标为(rt, r)。
通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为
也可寫成
摆线也满足下面的微分方程。
面积
一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定:
微分,
于是可以求得
弧长
弧形的长度可以由下面的式子计算出:
其它相关联的曲线
一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时,我们得到了短擺線(curtate cycloid)和長擺線(prolate cycloid),兩者合稱為次擺線(trochoid),前面的情形是定点在圆的内部,后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步,如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话,我们会得到外摆线(epicycloid,沿着圆的外部运动,定点在圆的边缘),内摆线(hypocycloid,沿着圆内部滚动,定点在圆的边缘)以及外旋轮线(epitrochoid)和内旋轮线(hypotrochoid,定点可以在圆内的任一点包括边界。)
应用
此章节需要扩充。 (2010年6月) |
在建筑物的设计方面,摆线曾被路易·卡恩用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑金贝尔艺术博物馆。 它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。
参考
- ^ 卡乔里, 弗洛里安. 数学史. 纽约: 切尔西. 1999: 177. ISBN 978-0821821022.
- An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6.
外部链接
- 埃里克·韦斯坦因. Cycloid. MathWorld.
- Cycloids (页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves (页面存档备份,存于互联网档案馆), monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library (页面存档备份,存于互联网档案馆).
- Cicloides y trocoides
- Cycloid Curves (页面存档备份,存于互联网档案馆) by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.