外测度

外測度是個實數集合的函數,並符合一些額外條件。 Carathéodory 所創立的理論為測度集合理論建立基礎。 Carathéodory 在外測度的工作對於測度集合論很有用。and was used in an essential way by Hausdorff to define a dimension-like metric invariant now called Hausdorff dimension.

長度，面積及體積的歸納出來的測度對很多抽象不規則的集合很有用的。我們可以定義φ作為測度函數,其滿足以下3個條件:

1. 任意實數間距 [a, b] 等於 b − a
2. 測度函數 φ 是非負實函數於R的所有子集合定義下來
3. 可數相加律, 設定X 的對偶分離子集的任意序列{A_j}_j

$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})$

定義

外測度是個X的冪集合(Power set)映射到$[0,\infty ]$ 的測度

$\varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]$

固此

• 空集有零外測度(測度零).

$\varphi (\varnothing )=0$

• 一貫性

$A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)$

• 可數相加律: 設定X 的(無論是對偶分離與否)子集的任意序列{A_j}_j

$\varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})$

外測度及拓樸學

假設 (X, d) 是一個度量空間 且 φ 是一個在X之上的外測度。若φ 有以下性質

$\varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)$

每當

$d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,$

參考

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953