第98行:
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[[Category:二次 曲面 ]]
[[ar:سطح ثنائي]]
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2008年2月8日 (五) 17:11的版本
二次曲面 指任何n 維的超曲面 ,其定義為多元二次方程 的解的軌跡。
在座標
{
x
0
,
x
1
,
x
2
,
…
,
x
D
}
{\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{D}\}}
,二次曲面的定義為代數方程[ 1]
:
∑
i
,
j
=
0
D
Q
i
,
j
x
i
x
j
+
∑
i
=
0
D
P
i
x
i
+
R
=
0
{\displaystyle \sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0}
。
上式亦可以用矩陣乘法 和向量 的內積 等概念,寫成以下形式:
x
=
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
;
{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}};}
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
12
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
1
n
a
2
n
⋯
a
n
n
)
;
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}};}
b
=
(
b
1
b
2
⋮
b
n
)
{\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}
⟨
A
x
,
x
⟩
+
2
⟨
b
,
x
⟩
+
c
=
0
{\displaystyle \langle A\mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +2\langle \mathbf {b} ,\mathbf {x} \rangle +c=0}
二次曲面是代數簇 的一種。
例子
橢球 面
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}
橢圓面
x
2
a
2
+
y
2
a
2
+
z
2
b
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,}
球面
x
2
a
2
+
y
2
a
2
+
z
2
a
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,}
橢圓拋物面
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}
圓拋物面
x
2
a
2
+
y
2
a
2
−
z
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}
雙曲拋物面
x
2
a
2
−
y
2
b
2
−
z
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}
單葉雙曲面
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}
雙葉雙曲面
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
−
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,}
錐面
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
0
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}
橢圓柱面
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}
圓柱面
x
2
a
2
+
y
2
a
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,}
雙曲柱面
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}
拋物柱面
x
2
+
2
a
y
=
0
{\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}
引用
^ [1] , Quadrics in Geometry Formulas and Facts by Silvio Levy, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).