二次曲面

二次曲面指任何n維的超曲面，其定義為多元二次方程的解的軌跡。

在座標$\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{D}\}$，二次曲面的定義為代數方程 ：

$\sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0$。

上式亦可以用矩陣乘法和向量的內積等概念，寫成以下形式：

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}};$　$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}};$　$\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

$\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +2\langle \mathbf {b} ,\mathbf {x} \rangle +c=0$

二次曲面是代數簇的一種。

例子

橢球面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
橢圓面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,$
球面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,$
橢圓拋物面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
圓拋物面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$
雙曲拋物面	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
單葉雙曲面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
雙葉雙曲面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,$
錐面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
橢圓柱面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
圓柱面	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$
雙曲柱面	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
拋物柱面	$x^{2}+2ay=0\,$

引用

• 埃里克·韦斯坦因. Quadric. MathWorld.