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陈类

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数学上,特别是在代数拓扑微分几何中,陈类(英語:Chern class,或稱陳氏類)是一类复向量叢示性类,类比于斯蒂弗尔-惠特尼类英语Stiefel-Whitney class作为实向量叢示性类

陈类因陈省身而得名,他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。

定义

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给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E, E的陈类是一系列X上同调的元素。Ek个陈类通常记为ck(E),是X整数系数的上同调群H2k(X;Z)中的一个元素,并且满足如下公理:

公理1. 对于任何

公理2. 自然性:如果是一个复向量丛是一个连续映射拉回的向量丛,那么对任意k,

公理3. 惠特尼求和公式:如果是两个复向量丛,那么它们的直和的陈类是

公理4. 如果是复射影直线上的超平面丛,那么庞加莱对偶

陈数

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任何陈类的积分是一个整数,叫陈数,有时候给卷绕数

在物理学中,陈数有很多应用。例如第一陈数

描述阿哈罗诺夫-玻姆效应。第二陈数描述一种流形边界的陈-西蒙斯理论

在物理学中,这有时候被叫做theta term,描述Witten效应、瞬子(第三同倫类)、軸子Dyon英语Dyon等等。

其中的YM杨-米尔斯作用量

陈-西蒙斯理论

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陈-西蒙斯形式跟陈类有关:

陈示性

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若F是曲率形式,陈示性是

而且

比方说,若V是U(1)主丛(阿贝尔规范

等价定义

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同时,有很多处理这个定义的办法:陈省身最初使用了微分几何;在代数拓扑中,陈类是通过同伦理论定义的,该理论提供了把E和一个分类空间(在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射);还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法,表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。

直观地说,陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。

殆复流形的陈类和配边

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陈类的理论导致了殆复流形配边不变量的研究。

M是一个复流形,则其切丛是一个复向量丛。M陈类定义为其切丛的陈类。若M的2d维的,则每个陈类中的2d单项式可以和M基本类配对,得到一个整数,称为M的。

M′是另一个同维度的近复流形,则它和M配边,当且仅当M′和M陈数相同.

推广

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陈类理论有个一般化,其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同,但有一个关键的不同:计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的(普通)加法而是一个形式化群法则formal group law)。

应用

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物理学

参考文献

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