En matemáticas, una función homogénea[1] es una función tal que, si todos sus argumentos se multiplican por un escalar, entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar, llamado grado de homogeneidad, o simplemente el grado; es decir, si k es un número entero, una función f de variables n es homogénea de grado k si
para cada y
Expresado de otra manera, es una función que presenta un interesante comportamiento multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).
Definición formal[editar]
Supongamos una función cuya definición es entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Entonces se dice que es homogénea de grado k si:
Las funciones lineales[editar]
Cualquier función lineal es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:
para todo y . Del mismo modo, cualquier función multilineal es homogénea de grado n, por definición.
para todo y . Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función entre dos espacios de Banach y es homogénea de grado .
Polinomios homogéneos[editar]
Los monomios de variables reales definen funciones homogéneas. Por ejemplo,
es homogénea de grado 10 puesto que:
Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,
es un polinomio homogéneo de grado 5.
Propiedades[editar]
Supongamos que una función es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:
.
|
- Teorema: Sea es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden son funciones homogéneas de grado k-1. es decir
Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.
Demostración
|
Sea y la función homogénea.
Por homogeneidad de la función se sabe que
Se define como .
Reemplazando la en la expresión anterior nos queda:
Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a
por regla de la cadena la expresión se vuelve:
Sustituyendo nuevamente :
y finalmente da el resultado que se quiere obtener:
|
Aplicación a las EDOs[editar]
La substitución convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)
Donde y son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:
Referencias[editar]
Bibliografía[editar]
- Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en alemán). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9.
Enlaces externos[editar]