« Énergie cinétique » : différence entre les versions
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m § « Définition », ¶ « Pour un solide » : deux liens pour les lettres grecques ρ (rhô) et τ (tau) |
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| nom = Énergie cinétique |
| nom = Énergie cinétique |
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| image = Abrissbirne.jpg |
| image = Abrissbirne.jpg |
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| légende = |
| légende = L'énergie cinétique du boulet est utilisée pour détruire un édifice. |
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| unités = joule (J) |
| unités = joule (J) |
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| dimension = {{dimension|kg=1|m=2|s=-2|A=|K=|mol=|cd=}} |
| dimension = {{dimension|kg=1|m=2|s=-2|A=|K=|mol=|cd=}} |
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| symbole |
| symbole = <math> \mathrm E_c</math> , <math>\mathrm E_k</math> ou <math>T</math> |
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| extensive = oui |
| extensive = oui |
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| conservative = Non |
| conservative = Non |
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| nature = scalaire |
| nature = scalaire |
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| expressions = <math>E_c |
| expressions = <math> \mathrm E_c \approx \frac{1}{2} m v^2</math><br/> |
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<math>E_{r}\equiv </math>[[Moment cinétique|<math>\frac{1}{2}\vec{L_{G}}</math>]][[Vecteur vitesse angulaire|<math>\cdot \vec{\omega}</math>]] |
<math>\mathrm E_{r}\equiv </math>[[Moment cinétique|<math>\frac{1}{2}\vec{L_{G}}</math>]][[Vecteur vitesse angulaire|<math>\cdot \vec{\omega}</math>]] |
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En [[physique]], l'{{terme défini|énergie cinétique}} est l’[[énergie (physique)|énergie]] que possède un corps du fait de son [[mouvement (mécanique)|mouvement]] dans un [[référentiel (physique)|référentiel]] donné. Dans le [[Système international d'unités|Système international]], son [[unité de mesure]] est le [[joule]] ({{unité|J}}). |
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L'énergie cinétique d'un [[point matériel]] dans un [[référentiel galiléen]] est égale à la somme des [[travail d'une force|travaux]] des forces appliquées pour faire passer le point du repos à un mouvement. Ce n'est pas un [[invariance de Lorentz|invariant galiléen]], sa valeur dépend du [[référentiel (physique)|référentiel]] choisi. |
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Pour un [[point matériel]], l'énergie cinétique est égale au [[Travail d'une force|travail]] des forces appliquées nécessaires pour faire passer le corps du repos à son mouvement (si le [[Référentiel (physique)|référentiel]] choisi n'est pas [[Référentiel galiléen|galiléen]], il faut tenir compte du travail des [[Force d'inertie|forces d'inertie]] d'entraînement). Par suite, {{Peu clair|l'[[Énergie (physique)|énergie]] cinétique n'est pas en général une intégrale première du mouvement, sauf si le travail des [[forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures et intérieures]] (pour un système de points matériels) est nul}} au cours du mouvement. Un exemple classique de ce type de situation est le cas du mouvement d'une [[charge électrique]] dans un [[champ magnétique]] uniforme. |
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[[Fichier:Wooden roller coaster txgi.jpg| |
[[Fichier:Wooden roller coaster txgi.jpg|vignette|Les wagons des [[montagnes russes]] possèdent une énergie cinétique maximale en bas de leur parcours. Lorsqu'ils commencent à monter, l'énergie cinétique est convertie en [[énergie potentielle de pesanteur|énergie potentielle]].]] |
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== Histoire == |
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{{Article détaillé|Force vive (physique)}} |
{{Article détaillé|Force vive (physique)}} |
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L'expression ''énergie cinétique'' provient du [[grec ancien|grec]] {{grec ancien|ἐνέργεια|enérgeia}}, « force en action » et {{grec ancien|κίνησις|kínêsis}}, « mouvement ». |
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[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]], s'opposant ainsi à [[René Descartes|Descartes]] qui estimait que la [[quantité de mouvement]] se conservait toujours, développa l'idée de la « [[Force vive (physique)|force vive]] » (''{{langue|la|vis viva}}''), à laquelle il attribuait la valeur <math>mv^2</math>. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique. |
[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]], s'opposant ainsi à [[René Descartes|Descartes]] qui estimait que la [[quantité de mouvement]] se conservait toujours, développa l'idée de la « [[Force vive (physique)|force vive]] » (''{{langue|la|vis viva}}''), à laquelle il attribuait la valeur <math>mv^2</math>. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique. |
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{{ |
{{Bloc citation|Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de mouvement, et que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la [[Force vive (physique)|force]] (vive) absolue… On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la [[Force vive (physique)|force vive]] qui se conserve<ref>{{Chapitre |langue=en |prénom1=G. W. Leibniz |nom1=von Freiherr |lien auteur1=Gottfried Wilhelm Leibniz |titre chapitre=Specimen dynamicum |auteurs ouvrage=Philip P. Wiener |titre ouvrage=Leibniz Selections |traduction titre=Sélections de Leibniz |lieu=New York |éditeur=Charles Scribner's Sons |année=1979 |année première édition=1951 |réimpression= |pages totales=606 |format={{Unité|21|cm}} |isbn=9780684175959 |oclc=12309633 |présentation en ligne= |lire en ligne= |consulté le=20 mai 2020 |partie=Part 2: First Principles: Foundations of the Sciences, Chapter 5 |page début chapitre= |passage= }}.</ref>…}} |
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== Définition == |
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=== Pour un point === |
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L'énergie cinétique est généralement notée {{math|''E''{{sub|c}}}} dans les textes en français (« ''E'' » pour ''énergie'', « c » pour ''cinétique''). Dans les textes en anglais on trouve {{math|''E''{{sub|k}}}} ou {{mvar|K}}, « k » étant l'initiale de ''kinetics'' (le mot anglais qui correspond à ''cinétique''). Dans les textes théoriques on trouve aussi {{math|''T''}}. |
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Dans la [[relativité restreinte|théorie de la relativité]], l'énergie cinétique <math>\mathrm E_{c}</math> d'un point matériel de [[masse|masse inerte]] <math>m</math><ref group=N>Il s'agit de la masse du point au repos, dans son référentiel.</ref> se déplaçant à une vitesse <math>v</math> dans un référentiel donné vaut : |
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== Définitions == |
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D'une manière générale, l'énergie cinétique <math>E_{\mathrm c}</math> (en J) d'un point matériel de masse au repos ''<math>m</math>'' (en kg) se déplaçant à une vitesse <math>v</math> (en m/s) dans un référentiel donné s'exprime ainsi : |
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<center><math>\mathrm E_c=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^2 \ \ </math> avec <math>\ \ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> |
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</center> |
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Le coefficient <math>\gamma</math> (« [[gamma]] ») est le [[facteur de Lorentz]], <math>c</math> est la [[vitesse de la lumière]]. |
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Avec le [[facteur de Lorentz]] : |
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Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, le [[développement limité]] de l'énergie cinétique <math>\mathrm E_c</math> est : |
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:<math>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> |
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<center><math> \mathrm E_c \approx \frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2}+\frac{5}{16}\frac{mv^6}{c^4}+\dots \approx\frac{1}{2}mv^2 </math></center> |
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Le terme du premier ordre est l'énergie cinétique classique. Pour un objet de {{unité|1|kg}} allant à la vitesse de {{unité|10|km/s}}, la différence entre énergie cinétique relativiste et classique est d'environ 0,04 J pour une énergie cinétique classique de 50 MJ, soit un écart relatif d'environ <math>10^{-9}</math>, ce qui en fait une très bonne approximation. |
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Dans les cas non relativistes (c'est-à-dire lorsque les vitesses sont petites comparées à la vitesse de la lumière dans le vide), l'énergie cinétique <math>E_c</math> peut être approchée par la relation suivante : |
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:<math>E_\mathrm c \approx \frac{1}{2}\, m\, v^2</math> |
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=== |
=== Pour un solide === |
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On peut assimiler un corps à un système de points matériels <math>M_i</math> de masses <math>m_i</math> et de vitesses <math>v_i</math>. En notant <math>M</math> la masse totale du corps, on a <math>M=\sum_{i} m_{i}</math>. |
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Dans le domaine de validité de la [[mécanique newtonienne]], la notion d'énergie cinétique peut être facilement mise en évidence pour un [[point matériel]], corps considéré comme ponctuel de masse ''m'' constante. |
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Conformément à l'[[extensivité et intensivité (physique)|extensivité]] de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique <math>\mathrm E_{c}</math> du système de points peut être définie comme la somme des énergies cinétiques des points matériels constituant le système : |
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En effet, la [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique de translation|relation fondamentale de la dynamique]] s'écrit dans ce cas : |
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<center><math>\mathrm E_{c}=\sum_{i} \mathrm E_{{c},i} = \sum_{i} \frac{\gamma_{i}^2}{\gamma_{i}+1} m_{i} v_{i}^{2} \approx \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}</math></center> |
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Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas. En passant à la limite des [[mécanique des milieux continus|milieux continus]] et en intégrant sur le volume, on obtient : |
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avec : |
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<center><math>\mathrm E_{c}= \frac{1}{2} \iiint \rho v^{2} \mathrm{d} \tau </math></center> |
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* <font style="vertical-align:+15%;"><math>\sum \vec{F}</math></font> somme des [[Force (physique)|forces appliquées]] au point matériel de masse ''m'' (y compris les « [[force d'inertie|forces d'inertie]] » dans le cas d'un [[référentiel (physique)|référentiel]] [[référentiel non inertiel|non galiléen]]). |
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En notant : |
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* [[rhô|<math>\rho</math>]] la [[masse volumique]] locale ; |
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* <math>v</math> la vitesse locale ; |
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* <math>\mathrm{d}</math>[[tau|<math>\tau</math>]] le [[Volume|volume élémentaire]]. |
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=== Mise en évidence === |
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En prenant le [[produit scalaire]], membre à membre, par la vitesse <font style="vertical-align:+15%;"><math>\vec{v}</math></font> du corps, il vient : |
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: <math>m\left (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right )\cdot \vec{v}=\left (\sum \vec{F}\right ) \cdot \vec{v}</math> |
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où : |
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:<math>\left (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right )\cdot \vec{v}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac{1}{2}v^{2}\right )</math> |
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Dans le domaine de validité de la [[mécanique newtonienne]], la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un [[point matériel]] de masse <math>m</math> constante. |
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il vient ainsi : |
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: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac{1}{2}mv^{2}\right )=\sum \left (\vec{F}\cdot \vec{v}\right )</math>. |
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La [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|relation fondamentale de la dynamique]] s'écrit : |
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On met en évidence dans le membre de gauche la quantité <font style="vertical-align:+10%;"><math>E_{\mathrm c}\equiv \frac{1}{2}mv^{2}</math></font> appelée '''''énergie cinétique''''' du point matériel, dont la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des [[Puissance (physique)|puissances]] <math>\vec{F}\cdot \vec{v}</math> des forces appliquées au corps ('''''théorème de l'énergie cinétique''''', forme « instantanée »). |
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<center><math>m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\sum \vec{F}</math></center> |
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avec <math>\sum \vec{F}</math></font> la résultante des [[force (physique)|forces]] appliquées au point matériel. Elle comprend les [[force d'inertie|forces d'inertie]] dans le cas d'un [[référentiel (physique)|référentiel]] [[référentiel non inertiel|non galiléen]]. |
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En effectuant le [[produit scalaire]] par la vitesse <math>\vec{v}</math> du point, il vient : |
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On peut obtenir une expression plus générale en considérant que l'on a donc <math>\int \mathrm{d}\left (\frac{1}{2}mv^{2}\right )=\int m\vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{v}</math>, puisque <math>\mathrm{d}(v^{2})=2\vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{v}</math>. En introduisant la variation infinitésimale de la [[quantité de mouvement]] du corps, <math>\mathrm{d}\vec{p}\equiv m\mathrm{d}\vec{v}</math>, il vient finalement l'expression : |
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<center><math>m\left (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right )\cdot \vec{v}=\left (\sum \vec{F}\right ) \cdot \vec{v}</math></center> |
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où <math>\Delta E_{\mathrm c}</math> désigne la variation d'énergie cinétique. |
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<center>comme <math>\left (\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\right )\cdot \vec{v}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac{1}{2}v^{2}\right) </math>, alors <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac{1}{2}mv^{2}\right )=\sum \left (\vec{F}\cdot \vec{v}\right )</math></center> |
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Dans le domaine de validité de la Mécanique Relativiste, la masse d'un objet n'est pas invariant de sa vitesse, c'est pourquoi on utilise la relation suivante : |
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On reconnait dans le membre de gauche la quantité <math>\mathrm E_{c}\equiv \frac{1}{2}mv^{2}</math> qu'on nomme énergie cinétique du point matériel, et dont la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des [[puissance (physique)|puissances]] <math>\vec{F} \cdot \vec{v}</math> des forces appliquées au point. |
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:<math>\Delta E_{\mathrm c}=\int \vec{v}\cdot \mathrm{d}(m_\gamma\vec{v})=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^{2}</math> |
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On peut obtenir une expression plus générale en remarquant que <math>\int \mathrm{d}\left (\frac{1}{2}mv^{2}\right )=\int m\vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{v}</math>, puisque <math>\mathrm{d}(v^{2})=2\vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{v}</math>. En introduisant la variation infinitésimale de la [[quantité de mouvement]] du corps <math>\mathrm{d}\vec{p}\equiv m\mathrm{d}\vec{v}</math>, on obtient : |
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=== Cas d'un système de points === |
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<center><math>\Delta \mathrm E_c = \int \vec{v} \cdot \mathrm{d}\vec{p}</math></center> |
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Dans le cas d'un corps que l'on ne peut considérer ponctuel, il est possible de l'assimiler à un système (d'une infinité) de points matériels <math>M_i</math> de masses <math>m_i</math> avec <math>M=\sum_{i} m_{i}</math> la ''masse totale'' du corps. |
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où <math>\Delta \mathrm E_c</math> désigne la variation d'énergie cinétique. |
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Dans le domaine de validité de la mécanique relativiste, la masse d'un objet n'est pas invariant de sa vitesse, et en intégrant on obtient finalement : |
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L'énergie cinétique <math>E_{c}</math> du système de points peut être alors simplement définie comme la somme des énergies cinétiques associées aux points matériels constituant le système : |
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:<math>E_{\mathrm c}=\sum_{i} E_{{\mathrm c},i} = \sum_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}</math> (1) |
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Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas. |
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<center><math>\Delta \mathrm E_c=\int \vec{v}\cdot \mathrm{d}(m_\gamma\vec{v})=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^{2}</math></center> |
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'''Remarque :''' en considérant la limite des [[mécanique des milieux continus|milieux continus]] on a <math>E_{\mathrm c}=\int_{(S)} \frac{1}{2}\rho(M)v_{M}^{2}\,\mathrm{d}\tau\ </math>, ''M'' étant un point courant du système (S). |
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== Théorèmes de l’énergie cinétique == |
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== Unité == |
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L'unité légale est le [[joule]]. Les calculs s'effectuent avec les masses en [[Kilogramme|kg]] et les vitesses en mètres par seconde. |
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Ces théorèmes, valables uniquement dans le cadre de la [[mécanique newtonienne|mécanique classique]], permettent de relier l’énergie cinétique d’un système aux [[travail d'une force|travaux]] des [[force (physique)|forces]] auxquelles celui-ci a été soumis. |
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== [[théorèmes de König (mécanique)|Théorème de König]] == |
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L'expression (1) n'est guère utilisable directement, bien que générale. Il est possible de la réécrire sous une autre forme, dont l'interprétation physique est plus aisée. |
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=== |
===Pour un point=== |
||
<!--Pour ce faire on considère deux référentiels : le [[référentiel (physique)|référentiel]] d'étude (R), galiléen ou non, et le '''''référentiel barycentrique''''' (ou du [[Barycentre (physique)|centre de masse]]), noté ''(R{{exp|*}})'', associé à (R). |
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Dans un [[référentiel galiléen]], pour un [[point matériel]] de masse constante parcourant un [[intégrale curviligne|chemin]] <math>\Gamma</math> entre une position <math>A</math> et une position <math>B</math> : |
|||
Ce dernier est défini comme le référentiel ''en translation'' par rapport à (R), et tel que la [[quantité de mouvement]] <font style="vertical-align:+20%;"><math>\vec{P^{*}}</math></font> du système dans (R{{exp|*}}) est nulle. |
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des vitesses entres les [[référentiel (physique)|référentiel]]s (R) et (R{{exp|*}}) en translation, on a : <math>\vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}</math>, avec ''G'' centre de masse de (S). En susbstituant dans (1) il vient : |
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{{énoncé|La variation d’énergie cinétique du point entre <math>A</math> et <math>B</math> est égale à la somme des travaux <math>W_{\Gamma}</math> des forces qui s'exercent sur le point le long du chemin <math>\Gamma</math> : |
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<math>E_{\mathrm c}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}\right )^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\cdot\vec{v_{G}}+\frac{1}{2}\left (\sum_{i} m_{i}\right )v_{G}^{2}</math>, |
|||
<center><math> \underset{ A \rightarrow B} \Delta \ \mathrm E_{c}= \mathrm E_{c}^{B}-\mathrm E_{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma}}</math></center>}} |
|||
avec <math>\mathrm E_{c}^{A}</math> et <math>\mathrm E_{c}^{B}</math> les énergies cinétiques du point respectivement aux positions <math>A</math> et <math>B</math>. Le résultat ne dépend pas du chemin <math>\Gamma</math> suivi entre <math>A</math> et <math>B</math>, ce qui découle du caractère exact de la [[différentielle]] de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prend en compte à la fois les forces [[force conservative|conservatives]] et les forces non conservatives. Pour un point matériel, toutes les forces sont extérieures. |
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or on a <font style="vertical-align:+10%;"><math>M=\sum_{i} m_{i}\qquad</math></font> masse totale du corps et par définition de (R{{exp|*}}), <math>\vec{P^{*}}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}=\vec{0}</math>, d'où finalement le '''théorème de König relatif à l'énergie cinétique''':--> |
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Ce théorème se [[théorèmes de König (mécanique)|démontre]] en faisant intervenir le [[référentiel (physique)|référentiel]] barycentrique ''(R{{exp|*}})'' lié au [[Barycentre (physique)|centre d'inertie]] ''G'' du système, et en mouvement de translation par rapport au [[référentiel (physique)|référentiel]] d'étude ''(R)''. Il s'écrit : |
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On est déduit le théorème de la [[puissance (physique)|puissance]] cinétique : |
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: <math>E_{\mathrm c}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+E_{\mathrm c}^{*}</math> |
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<center><math> P = \frac{\mathrm{dE}_c}{\mathrm{d}t} </math></center> |
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===Pour un solide=== |
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L'énergie cinétique d'un système est alors la somme de deux termes : l'énergie cinétique du [[Barycentre (physique)|centre de masse]] de (S) affectée de sa masse totale ''M'', <math>\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}</math>, et '''''l'énergie cinétique propre''''' du système dans (R{{exp|*}}), <math>E_{\mathrm c}^{*}\equiv \frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}</math>. |
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Dans un référentiel galiléen, pour un solide déformable<ref group=N>Dans le cas d'un solide indéformable, les puissances et travaux intérieurs sont nuls, et on est ramené au cas du point matériel.</ref> de masse constante parcourant un [[intégrale curviligne|chemin]] <math>\Gamma</math> reliant un point <math>A</math> à un point <math>B</math> : |
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=== Application à un solide === |
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Un '''[[Mécanique du solide|solide]]''' est un système de points tels que les distances entre deux points quelconques de (S) sont constantes. Il s'agit d'une idéalisation d'un solide réel, considéré comme absolument rigide. |
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{{énoncé|La variation d’énergie cinétique du solide est égale à la somme des travaux des forces intérieures <math>W_{\Gamma}^{int}</math> et extérieures <math>W_{\Gamma}^{ext}</math> qui s'exercent sur et dans le solide le long de <math>\Gamma</math> : |
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==== Cas général : axe instantané de rotation ==== |
|||
<center><math> \underset{ A \rightarrow B} \Delta \ \mathrm E_{c}= \mathrm E_{c}^{B}-\mathrm E_{c}^{A}= \sum {W_{\Gamma}^{ext} + W_{\Gamma}^{int}} </math></center>}} |
|||
Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son [[Barycentre (physique)|centre de masse]] ''G'' dans (R) et un [[mouvement de rotation]] autour d'un axe instantané (Δ) dans le référentiel [[Barycentre (géométrie élémentaire)|barycentrique]] (R{{exp|*}}). |
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avec <math>\mathrm E_{c}^{A}</math> et <math>\mathrm E_{c}^{B}</math> les énergies cinétiques du solide respectivement aux positions <math>A</math> et <math>B</math>. Le résultat ne dépend pas du chemin <math>\Gamma</math> suivi entre <math>A</math> et <math>B</math>. Les termes des travaux prennent en compte à la fois les forces conservatives et non conservatives. |
|||
Plus précisément, pour un solide on peut écrire le champ des vitesses dans le référentiel barycentrique (R{{exp|*}}) sous la forme <math>\vec{v_{i}^{*}}=\vec{\omega}\wedge \vec{GM_{i}}</math>, <math>\vec{\omega}</math> étant le [[Rotation vectorielle|vecteur rotation]] instantané du solide dans (R{{exp|*}}) [ou (R), puisque les deux [[référentiel (physique)|référentiels]] sont en translation]. Son énergie cinétique propre <math>E_{k}^{*}</math> s'exprime alors : |
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On est déduit le théorème de la puissance cinétique pour un solide déformable : |
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:<math>E_{\mathrm k}^{*}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\cdot \left (\vec{\omega}\wedge \vec{GM_{i}}\right )=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot \left (\sum_{i}\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )=\frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega}</math>, |
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<center><math> P_{ext} + P_{int} = \frac{\mathrm{dE}_c}{\mathrm{d}t} </math></center> |
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=== Démonstration pour un point === |
|||
puisque <font style="vertical-align:-23%;"><math>\vec{L_{G}}=\vec{L^{*}}=\sum_{i} \vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}</math></font>, [[moment angulaire|moment cinétique]] du solide par rapport à G, égal au moment cinétique propre <font style="vertical-align:+25%;"><math>\vec{L^{*}}</math></font> (voir [[Théorèmes de König (mécanique)|théorèmes de König]]). |
|||
D’après la [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|deuxième loi de Newton]], l’[[accélération]] du [[barycentre (physique)|centre de gravité]] est liée aux forces qui s’exercent sur le point par la relation : |
|||
<center><math>m\,\vec{a}=\vec{F}</math></center> |
|||
Pendant une durée <math>\mathrm{d}t</math>, le point se déplace de <math>\mathrm{d}\vec{\ell}=\vec{v}\, \mathrm{d}t</math> où <math>\vec{v}</math> est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces : |
|||
<center><math>\delta W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=m\,\vec{a}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=m\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{v}\, \mathrm{d}t=m\,\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}</math></center> |
|||
Si le point parcourt un chemin <math>\Gamma</math> d’un point <math>A</math> à un point <math>B</math>, alors le travail total s’obtient en [[intégration (mathématiques)|intégrant]] le long du chemin : |
|||
<center><math> W=\int_{\Gamma}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=\int_{\Gamma} m \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}</math></center> |
|||
La quantité <math>\vec{v}\cdot \mathrm d \vec{v}</math> étant une [[forme différentielle exacte|différentielle exacte]], l’intégrale ne dépend pas du chemin <math>\Gamma</math> suivi entre <math>A</math> et <math>B</math> et peut donc être obtenue explicitement : |
|||
<center><math>W=m\,\int_{v_A}^{v_B}\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v} = m\,\left (\int_{v_{xA}}^{v_{xB}}v_x\, \mathrm{d}v_x+\int_{v_{yA}}^{v_{yB}}v_y\, \mathrm{d}v_y+\int_{v_{zA}}^{v_{zB}}v_z\, \mathrm{d}v_z\right )=m\,\left (\left[ \frac{v_x^2}{2} \right]_{v_{xA}}^{v_{xB}}+\left[ \frac{v_y^2}{2} \right]_{v_{yA}}^{v_{yB}}+\left[ \frac{v_z^2}{2} \right]_{v_{zA}}^{v_{zB}}\right )</math></center> |
|||
<center><math>W=\frac{1}{2}m\,\left[\left (v_{xB}^2+v_{yB}^2+v_{zB}^2\right ) - \left (v_{xA}^2+v_{yA}^2+v_{zA}^2\right )\right]</math></center> |
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<center><math>W=\frac{1}{2}m\,\left (\left\|\vec{v_B}\right\|^2 - \left\|\vec{v_A}\right\|^2\right )=\frac{1}{2}m\,\left ( v_B^2-v_A^2 \right ) = \mathrm E_{c_B}- \mathrm E_{c_A}</math></center> |
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== Théorème énergétique de König == |
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D'après le théorème de König, l’énergie cinétique totale d’un solide s'écrit donc ainsi : |
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{{Article détaillé|théorèmes de König (mécanique)}} |
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: <math>E_{\mathrm k}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+\frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega}</math> |
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que l'on peut considérer comme la somme d’une ''énergie cinétique « de translation »'' et d’une ''énergie cinétique de rotation'' <math>E_{\mathrm r}\equiv \frac{1}{2}\vec{L_{G}}\cdot \vec{\omega}</math>, aussi appelée ''énergie cinétique angulaire''. |
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Il est possible de réécrire l'énergie cinétique d'un solide sous la somme de deux termes possédant chacun une interprétation physique. |
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==== Cas de la rotation autour d'un axe fixe ==== |
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Si, de surcroît, il y a rotation autour d'un axe (Δ) ''fixe'' dans (R), le [[moment angulaire|moment cinétique]] par rapport à ''G'' du solide s'écrit <math>\vec{L_{G}}=I_{\Delta}\vec{\omega}</math>, où <math>I_{\Delta}</math> est le [[moment d'inertie]] du solide par rapport à l'axe de rotation (Δ). Son ''énergie cinétique de rotation'' se mettra ainsi sous la forme : |
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:<math> E_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I_{\Delta} \cdot\omega^2 </math>. |
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=== Énoncé === |
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== En mécanique relativiste == |
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Pour un solide de masse totale <math>m</math>, considéré comme un ensemble de [[point matériel|points matériels]] : |
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Dans la [[Principe de relativité|théorie de la relativité]] d’[[Albert Einstein|Einstein]] (utilisée principalement pour les vitesses proches de la [[vitesse de la lumière]], mais valable pour toutes vitesses), l’énergie cinétique est : |
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{{énoncé|L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit comme la somme de deux termes : |
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:<math>E_\mathrm c=(\gamma-1)mc^2=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)mc^2</math> |
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:<math>E_\mathrm c=\frac12 mv^2+E_\mathrm c^*\ \ </math> avec <math>\ \ E_\mathrm c^*=\frac12 \sum_{i} m_i v_i^2</math>}} |
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où : |
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où : |
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* {{math|''E''{{ind|c}}}} est l’énergie cinétique du corps (dans le référentiel considéré) ; |
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:<math>v</math> désigne la vitesse du [[barycentre (physique)|barycentre]] du solide dans le [[référentiel (physique)|référentiel]] d'étude <math>R</math> ; |
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:<math>v_i</math> désigne la vitesse de chaque point matériel dans le [[référentiel barycentrique]] <math>R^*</math>, et <math>m_{i}</math> sa masse. |
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* {{mvar|m}} sa masse au repos (dans ''son'' référentiel) ; |
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* {{mvar|c}} la [[Vitesse de la lumière|vitesse de la lumière dans le vide]] (dans ''tout'' référentiel inertiel) ; |
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* {{mvar|γmc}}{{2}} l’''énergie totale'' du corps (dans le référentiel considéré) ; |
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* [[E=mc2|{{mvar|mc}}{{2}}]] l’énergie au repos (90 [[péta]][[joule]]s par kilogramme) ; |
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* <math>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> le [[facteur de Lorentz]]. |
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L'énergie <math>E_\mathrm c^*</math> est appelée ''énergie cinétique propre'' du solide, associée aux déplacements propres au solide comme les [[rotation (physique)|rotations]] et les dilatations. Le premier terme correspond à une ''énergie cinétique de translation'' qui ne prendrait pas en compte les mouvements propres du solide. |
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La théorie de la relativité affirme que l’énergie cinétique d’un objet (ayant une masse « au repos<ref group="alpha">« Au repos » signifie dans ''son'' référentiel.</ref>» non nulle) tend vers l’infini quand sa vitesse s’approche de la vitesse de la lumière et que, par conséquent, il est impossible d’[[accélération|accélérer]] un objet jusqu’à cette vitesse. |
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=== Pour un solide indéformable === |
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Pour une vitesse ''v'' petite devant ''c'' (<math>v \ll c</math>), le [[Série de Taylor|développement limité]] de l’énergie cinétique relativiste est : |
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:<math>E_\mathrm c\approx\frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2}+\frac{5}{16}\frac{mv^6}{c^4}+\dots</math> |
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On retrouve ainsi au premier ordre l'[[énergie cinétique newtonienne]]. Par exemple, pour un objet d'un kilogramme allant à la vitesse de {{unité|10|km/s}}, la différence entre énergie cinétique relativiste et énergie cinétique newtonienne est d'environ 0,04 J pour une énergie cinétique newtonienne de 50 MJ, soit un écart relatif de 0,8 milliardième. Cette différence est de 400 J sur 5 GJ à {{unité|100|km/s}}, soit un écart relatif de 80 milliardièmes. |
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Pour un solide indéformable, la distance entre chaque point matériel qui le constitue est constante. En d'autres termes, le solide ne se dilate et ne se comprime pas, et ne possède pas de mouvement de [[torsion]]. Il peut cependant effectuer une [[rotation (physique)|rotation]] dans le référentiel envisagé. |
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Quand la [[gravitation|gravité]] est faible et que l’objet se déplace à des vitesses très inférieures à la [[vitesse de la lumière]] (c’est le cas de la plupart des phénomènes observés sur [[Terre]]), la formule de la mécanique newtonienne est une excellente approximation de l’énergie cinétique relativiste. |
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Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son [[barycentre (physique)|centre de masse]] dans <math>R</math> et un [[mouvement de rotation]] autour d'un axe instantané <math>\Delta</math> dans le référentiel barycentrique <math>R^*</math>. |
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À partir de l'[[Conservation de l'énergie|équation de la conservation de l'énergie]] connue comme : |
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{{énoncé|L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit sous la somme de deux termes : |
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:<math>\gamma mc^2=mc^2+E_\mathrm c</math> |
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<center><math> \mathrm E_c = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \vec{L} \cdot \vec{\omega} </math></center>}} |
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En notant : |
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* <math>v</math> la vitesse du centre de masse du solide dans le référentiel d'étude <math>R</math> ; |
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*<math>\vec L</math> le vecteur [[moment cinétique]] du solide par rapport à son centre de masse ; |
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* <math>\vec{\omega}</math> le vecteur [[vitesse angulaire]] instantané du solide. Il ne dépend pas du référentiel. |
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L'énergie cinétique propre du solide devient alors une ''énergie cinétique de rotation'' ou encore une ''énergie cinétique angulaire''. |
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Et à partir de l'[[Relativité restreinte|équation de la relativité restreinte]], avec ''p'' la [[quantité de mouvement]] : |
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Si de surcroît, l'axe de rotation <math>\Delta</math> est fixe dans le référentiel barycentrique <math>R^*</math> bien choisi, le moment cinétique du solide vérifie <math>\vec{L}=I_{\Delta}\vec{\omega}</math>, où <math>I_{\Delta}</math> est le [[moment d'inertie]] du solide par rapport à l'axe <math>\Delta</math>. Son énergie cinétique de rotation se met alors sous la forme <math> E_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I_{\Delta} \omega^2 </math>. |
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:<math>\gamma^2 m^2c^4=m^2c^4+p^2c^2</math> |
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== Lien avec l'énergie thermique == |
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Il est possible de montrer que : |
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{{Article détaillé|Énergie thermique}} |
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L’énergie thermique est l’énergie associée à l'agitation des [[molécule]]s et des [[atome]]s qui forment la matière. Pour un [[gaz parfait]], l'expression de l'énergie thermique prend une forme analogue à l'énergie cinétique : |
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:<math>E_\mathrm c=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^2</math> |
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<center><math> E_{th} = \frac{1}{2} mu^2 = \frac{3}{2} k_B T </math></center> |
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En notant : |
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*<math>u</math> la [[vitesse quadratique moyenne]] ; |
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*<math>T</math> la température ; |
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*<math>k_B</math> la [[constante de Boltzmann]]. |
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De nature [[mécanique quantique|quantique]], l’[[énergie thermique]] se transforme en [[énergie électromagnétique]] par rayonnement. Ce rayonnement thermique peut être approché sous certaines conditions par le modèle du rayonnement du [[corps noir]]. La relation entre la [[transfert thermique|chaleur]], la [[température]] et l’énergie cinétique des atomes et des [[molécule]]s est l’objet de la [[mécanique statistique]] et de la [[thermodynamique]]. |
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On peut vérifier la validité de cette écriture en l'égalisant avec la formule d'Einstein pour l'énergie cinétique : |
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:<math>\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^2=(\gamma-1)mc^2</math> |
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Ce qui permet de retrouver la définition du facteur de Lorentz : |
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:<math>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> |
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=== Expression de la vitesse fonction de la masse et de l' énergie cinétique === |
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:<math>E_\mathrm c=(\gamma-1)mc^2</math> d'où <math> \frac { 1 }{ \gamma}= \frac { mc^2 }{ ( E_c + mc^2 )}</math> |
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:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> et <math>\frac{ v^2} {c^2 }= 1 - \frac { 1 }{ \gamma^2}= 1 - \frac { m^2c^4 }{ ( E_c + mc^2)^2}</math> |
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On note <math> e = \frac {mc^2 } { E_c }</math> d'où <math>\frac{ v^2} {c^2 }= 1 - \frac { e^2 }{ ( 1 + e )^2}</math> et <math>v^2 = c^2 \frac { (1 + 2e )}{ ( 1 + e )^2 } </math> |
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Finalement: |
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:<math> v = c \frac{\sqrt{1+2e}}{1+ e}</math> , avec : <math> e = \frac {mc^2 } { E_c }</math> , expression qui reste assez simple |
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Aux faibles valeurs de<math> E_c </math>,(donc <math>e</math> grand devant 1), il vient <math>v^2 = c^2 \frac{2}{e} = \frac{2E_c}{m} </math>, on retrouve bien: <math> E_c = \frac{1}{2} m v^2</math> |
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== Théorème de l’énergie cinétique == |
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Ce théorème, valable uniquement dans le cadre de la [[mécanique newtonienne]], permet de lier l’énergie cinétique d’un système au [[travail d'une force|travail]] des [[Force (physique)|forces]] auxquelles celui-ci est soumis. |
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=== Énoncé === |
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<!-- Ancienne nouvelle version de la définition : |
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Dans un [[référentiel galiléen]], la variation de l'[[énergie cinétique]] d'un objet en translation entre deux points ''A'' et ''B'' est égale à la somme algébrique des travaux des [[forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures]] appliquées à l'objet entre ces deux points : |
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:<math>\Delta E_{{\mathrm c}_{A\rightarrow B}}=E_{c_B}-E_{c_A}=\sum \overline {W_{F_{ext_{A\rightarrow B}}}}</math> |
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--> |
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Dans un [[référentiel galiléen]], pour un corps de [[masse]] ''m'' constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la [[Somme (arithmétique)|somme]] des travaux ''W'' des [[force (physique)|forces]] ([[forces intérieures et forces extérieures|extérieures et intérieures]]) qui s’exercent sur le corps considéré<ref group="alpha">Il faut prendre en considération toutes les forces : qu'elles soient conservatives ou non.</ref>{{,}}<ref group="alpha">Exemples de forces intérieures : forces de frottements entre deux pièces du système, forces de cohésions entre les atomes (cette dernière n'engendre dans la majorité des cas pas de travail).</ref> : |
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:<math>\Delta E_{{\mathrm c}_{AB}}=E_{{\mathrm c}_B}-E_{{\mathrm c}_A}=\sum {W_{F_{\mathrm{ext} / \mathrm{int}}}^{AB}}</math> |
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où : |
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* E{{ind|cA}} et E{{ind|cB}} sont respectivement l’énergie cinétique du solide aux points A et B. |
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=== Démonstration === |
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D’après la [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique de translation|deuxième loi de Newton]], l’[[accélération]] du [[Barycentre (physique)|centre de gravité]] est liée aux forces qui s’exercent sur le solide par la relation suivante : |
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:<math>m\,\vec{a}=\vec{F}</math> |
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Pendant une durée ''dt'', le solide se déplace de <math>\mathrm{d}\vec{u}=\vec{v}\, \mathrm{d}t</math> où <math>\vec{v}</math> est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces : |
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: <math>\delta W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{u}=m\,\vec{a}\cdot\mathrm{d}\vec{u}=m\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{v}\, \mathrm{d}t=m\,\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}</math> |
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Si le solide parcourt un chemin d’un point A à un point B, alors le travail total s’obtient en faisant une [[Intégration (mathématiques)|intégrale]] le long du chemin : |
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: <math>W=\int_A^{B}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{u}=\int_{v_A}^{v_B}m\,\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}</math> |
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<math>\vec{v}\cdot\vec{dv}</math> étant une [[Forme différentielle exacte|différentielle exacte]], l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi entre A et B et peut donc être obtenue explicitement : |
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: <math>W=m\,\int_{v_A}^{v_B}\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v} = m\,\left (\int_{v_{xA}}^{v_{xB}}v_x\, \mathrm{d}v_x+\int_{v_{yA}}^{v_{yB}}v_y\, \mathrm{d}v_y+\int_{v_{zA}}^{v_{zB}}v_z\, \mathrm{d}v_z\right )=m\,\left (\left[ \frac{v_x^2}{2} \right]_{v_{xA}}^{v_{xB}}+\left[ \frac{v_y^2}{2} \right]_{v_{yA}}^{v_{yB}}+\left[ \frac{v_z^2}{2} \right]_{v_{zA}}^{v_{zB}}\right )</math> |
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: <math>W=m\,\left (\frac{v_{xB}^2-v_{xA}^2}{2}+\frac{v_{yB}^2-v_{yA}^2}{2}+\frac{v_{zB}^2-v_{zA}^2}{2}\right ) =\frac{1}{2}m\,\left[\left (v_{xB}^2+v_{yB}^2+v_{zB}^2\right ) - \left (v_{xA}^2+v_{yA}^2+v_{zA}^2\right )\right]</math> |
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:<math>W=\frac{1}{2}m\,\left (\left\|\vec{v_B}\right\|^2 - \left\|\vec{v_A}\right\|^2\right )=\frac{1}{2}m\,\left ( v_B^2-v_A^2 \right ) =\frac{1}{2}m\, v_B^2 - \frac{1}{2}m\, v_A^2=E_{c_B}-E_{c_A}</math> |
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== Théorème de la puissance cinétique == |
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Dans un référentiel galiléen, la puissance des forces s'appliquant au point M est égale à la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique. |
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:<math>P = \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t}\,</math> |
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On peut également appliquer cette définition à un unique solide si l'on considère uniquement la puissance des [[forces intérieures et forces extérieures|forces extérieures]] au solide. |
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== L’énergie thermique en tant qu’énergie cinétique == |
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L’[[énergie thermique]] est une forme d’énergie due à l’énergie cinétique totale des [[molécule]]s et des [[atome]]s qui forment la matière. La relation entre la chaleur, la [[température]] et l’énergie cinétique des atomes et des [[molécule]]s est l’objet de la [[mécanique statistique]] et de la [[thermodynamique]]. |
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De nature [[mécanique quantique|quantique]], l’[[énergie thermique]] se transforme en [[énergie électromagnétique]] par rayonnement. Ce rayonnement thermique peut être approché sous certaines conditions par le modèle du rayonnement dit du « [[corps noir]] ». |
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La [[transfert thermique|chaleur]], qui représente un échange d’énergie thermique, est aussi analogue à un [[Travail d'une force|travail]] dans le sens où elle représente une variation de l’[[énergie interne]] du système. L’énergie représentée par la chaleur fait directement référence à l’énergie associée à l’agitation moléculaire. La conservation de la chaleur et de l’[[énergie mécanique]] est l’objet du [[premier principe de la thermodynamique]]. |
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{{Article détaillé|Constante de Boltzmann|Capacité thermique massique}} |
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== Notes et références == |
== Notes et références == |
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=== Notes === |
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=== Références === |
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== Voir aussi == |
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=== Articles connexes === |
=== Articles connexes === |
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* [[Théorie cinétique des gaz |
* [[Théorie cinétique des gaz]] |
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* [[Énergie (physique)]] |
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* [[Énergie potentielle]] |
* [[Énergie potentielle]] |
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* [[Énergie mécanique]] |
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=== Liens externes === |
=== Liens externes === |
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{{Portail|physique|génie mécanique|énergie}} |
{{Portail|physique|génie mécanique|énergie}} |
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[[Catégorie:Mécanique classique]] |
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[[Catégorie: |
[[Catégorie:Énergie (physique)]] |
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[[Catégorie:Énergie (physique)|Energie cinétique]] |
Dernière version du 11 juillet 2024 à 14:45
Unités SI | joule (J) |
---|---|
Dimension | M·L 2·T −2 |
Nature | Grandeur scalaire extensive |
Symbole usuel | , ou |
Lien à d'autres grandeurs |
|
En physique, l'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement dans un référentiel donné. Dans le Système international, son unité de mesure est le joule (J).
L'énergie cinétique d'un point matériel dans un référentiel galiléen est égale à la somme des travaux des forces appliquées pour faire passer le point du repos à un mouvement. Ce n'est pas un invariant galiléen, sa valeur dépend du référentiel choisi.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Wooden_roller_coaster_txgi.jpg/220px-Wooden_roller_coaster_txgi.jpg)
Histoire
[modifier | modifier le code]L'expression énergie cinétique provient du grec ἐνέργεια / enérgeia, « force en action » et κίνησις / kínêsis, « mouvement ».
Gottfried Leibniz, s'opposant ainsi à Descartes qui estimait que la quantité de mouvement se conservait toujours, développa l'idée de la « force vive » (vis viva), à laquelle il attribuait la valeur . La force vive est donc le double de l'énergie cinétique.
« Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de mouvement, et que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la force (vive) absolue… On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la force vive qui se conserve[1]… »
Définition
[modifier | modifier le code]Pour un point
[modifier | modifier le code]Dans la théorie de la relativité, l'énergie cinétique d'un point matériel de masse inerte [N 1] se déplaçant à une vitesse dans un référentiel donné vaut :
Le coefficient (« gamma ») est le facteur de Lorentz, est la vitesse de la lumière.
Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, le développement limité de l'énergie cinétique est :
Le terme du premier ordre est l'énergie cinétique classique. Pour un objet de 1 kg allant à la vitesse de 10 km/s, la différence entre énergie cinétique relativiste et classique est d'environ 0,04 J pour une énergie cinétique classique de 50 MJ, soit un écart relatif d'environ , ce qui en fait une très bonne approximation.
Pour un solide
[modifier | modifier le code]On peut assimiler un corps à un système de points matériels de masses et de vitesses . En notant la masse totale du corps, on a .
Conformément à l'extensivité de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique du système de points peut être définie comme la somme des énergies cinétiques des points matériels constituant le système :
Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas. En passant à la limite des milieux continus et en intégrant sur le volume, on obtient :
En notant :
- la masse volumique locale ;
- la vitesse locale ;
- le volume élémentaire.
Mise en évidence
[modifier | modifier le code]Dans le domaine de validité de la mécanique newtonienne, la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un point matériel de masse constante.
La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
avec la résultante des forces appliquées au point matériel. Elle comprend les forces d'inertie dans le cas d'un référentiel non galiléen.
En effectuant le produit scalaire par la vitesse du point, il vient :
On reconnait dans le membre de gauche la quantité qu'on nomme énergie cinétique du point matériel, et dont la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des puissances des forces appliquées au point.
On peut obtenir une expression plus générale en remarquant que , puisque . En introduisant la variation infinitésimale de la quantité de mouvement du corps , on obtient :
où désigne la variation d'énergie cinétique.
Dans le domaine de validité de la mécanique relativiste, la masse d'un objet n'est pas invariant de sa vitesse, et en intégrant on obtient finalement :
Théorèmes de l’énergie cinétique
[modifier | modifier le code]Ces théorèmes, valables uniquement dans le cadre de la mécanique classique, permettent de relier l’énergie cinétique d’un système aux travaux des forces auxquelles celui-ci a été soumis.
Pour un point
[modifier | modifier le code]Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel de masse constante parcourant un chemin entre une position et une position :
La variation d’énergie cinétique du point entre et est égale à la somme des travaux des forces qui s'exercent sur le point le long du chemin :
avec et les énergies cinétiques du point respectivement aux positions et . Le résultat ne dépend pas du chemin suivi entre et , ce qui découle du caractère exact de la différentielle de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prend en compte à la fois les forces conservatives et les forces non conservatives. Pour un point matériel, toutes les forces sont extérieures.
On est déduit le théorème de la puissance cinétique :
Pour un solide
[modifier | modifier le code]Dans un référentiel galiléen, pour un solide déformable[N 2] de masse constante parcourant un chemin reliant un point à un point :
La variation d’énergie cinétique du solide est égale à la somme des travaux des forces intérieures et extérieures qui s'exercent sur et dans le solide le long de :
avec et les énergies cinétiques du solide respectivement aux positions et . Le résultat ne dépend pas du chemin suivi entre et . Les termes des travaux prennent en compte à la fois les forces conservatives et non conservatives.
On est déduit le théorème de la puissance cinétique pour un solide déformable :
Démonstration pour un point
[modifier | modifier le code]D’après la deuxième loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent sur le point par la relation :
Pendant une durée , le point se déplace de où est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :
Si le point parcourt un chemin d’un point à un point , alors le travail total s’obtient en intégrant le long du chemin :
La quantité étant une différentielle exacte, l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi entre et et peut donc être obtenue explicitement :
Théorème énergétique de König
[modifier | modifier le code]Il est possible de réécrire l'énergie cinétique d'un solide sous la somme de deux termes possédant chacun une interprétation physique.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Pour un solide de masse totale , considéré comme un ensemble de points matériels :
L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit comme la somme de deux termes :
- avec
où :
- désigne la vitesse du barycentre du solide dans le référentiel d'étude ;
- désigne la vitesse de chaque point matériel dans le référentiel barycentrique , et sa masse.
L'énergie est appelée énergie cinétique propre du solide, associée aux déplacements propres au solide comme les rotations et les dilatations. Le premier terme correspond à une énergie cinétique de translation qui ne prendrait pas en compte les mouvements propres du solide.
Pour un solide indéformable
[modifier | modifier le code]Pour un solide indéformable, la distance entre chaque point matériel qui le constitue est constante. En d'autres termes, le solide ne se dilate et ne se comprime pas, et ne possède pas de mouvement de torsion. Il peut cependant effectuer une rotation dans le référentiel envisagé.
Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son centre de masse dans et un mouvement de rotation autour d'un axe instantané dans le référentiel barycentrique .
L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit sous la somme de deux termes :
En notant :
- la vitesse du centre de masse du solide dans le référentiel d'étude ;
- le vecteur moment cinétique du solide par rapport à son centre de masse ;
- le vecteur vitesse angulaire instantané du solide. Il ne dépend pas du référentiel.
L'énergie cinétique propre du solide devient alors une énergie cinétique de rotation ou encore une énergie cinétique angulaire.
Si de surcroît, l'axe de rotation est fixe dans le référentiel barycentrique bien choisi, le moment cinétique du solide vérifie , où est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe . Son énergie cinétique de rotation se met alors sous la forme .
Lien avec l'énergie thermique
[modifier | modifier le code]L’énergie thermique est l’énergie associée à l'agitation des molécules et des atomes qui forment la matière. Pour un gaz parfait, l'expression de l'énergie thermique prend une forme analogue à l'énergie cinétique :
En notant :
- la vitesse quadratique moyenne ;
- la température ;
- la constante de Boltzmann.
De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique par rayonnement. Ce rayonnement thermique peut être approché sous certaines conditions par le modèle du rayonnement du corps noir. La relation entre la chaleur, la température et l’énergie cinétique des atomes et des molécules est l’objet de la mécanique statistique et de la thermodynamique.
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]- Il s'agit de la masse du point au repos, dans son référentiel.
- Dans le cas d'un solide indéformable, les puissances et travaux intérieurs sont nuls, et on est ramené au cas du point matériel.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) G. W. Leibniz von Freiherr, « Specimen dynamicum », dans Philip P. Wiener, Leibniz Selections [« Sélections de Leibniz »], New York, Charles Scribner's Sons, (1re éd. 1951), 606 p., 21 cm (ISBN 9780684175959, OCLC 12309633), Part 2: First Principles: Foundations of the Sciences, Chapter 5.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :