« Énergie cinétique » : différence entre les versions
réécriture de la partie sur le théorème de Konig |
m § « Définition », ¶ « Pour un solide » : deux liens pour les lettres grecques ρ (rhô) et τ (tau) |
||
(17 versions intermédiaires par 13 utilisateurs non affichées) | |||
Ligne 14 : | Ligne 14 : | ||
}} |
}} |
||
En [[physique]], l'{{terme défini|énergie cinétique}} est l’[[énergie (physique)|énergie]] que possède un corps du fait de son [[mouvement (mécanique)|mouvement]] dans un [[référentiel (physique)|référentiel]] donné. |
En [[physique]], l'{{terme défini|énergie cinétique}} est l’[[énergie (physique)|énergie]] que possède un corps du fait de son [[mouvement (mécanique)|mouvement]] dans un [[référentiel (physique)|référentiel]] donné. Dans le [[Système international d'unités|Système international]], son [[unité de mesure]] est le [[joule]] ({{unité|J}}). |
||
L'énergie cinétique d'un [[point matériel]] dans un [[référentiel galiléen]] est égale |
L'énergie cinétique d'un [[point matériel]] dans un [[référentiel galiléen]] est égale à la somme des [[travail d'une force|travaux]] des forces appliquées pour faire passer le point du repos à un mouvement. Ce n'est pas un [[invariance de Lorentz|invariant galiléen]], sa valeur dépend du [[référentiel (physique)|référentiel]] choisi. |
||
[[Fichier:Wooden roller coaster txgi.jpg|vignette|Les wagons des [[montagnes russes]] possèdent une énergie cinétique maximale en bas de leur parcours. Lorsqu'ils commencent à monter, l'énergie cinétique est convertie en [[énergie potentielle de pesanteur|énergie potentielle]].]] |
[[Fichier:Wooden roller coaster txgi.jpg|vignette|Les wagons des [[montagnes russes]] possèdent une énergie cinétique maximale en bas de leur parcours. Lorsqu'ils commencent à monter, l'énergie cinétique est convertie en [[énergie potentielle de pesanteur|énergie potentielle]].]] |
||
Ligne 23 : | Ligne 23 : | ||
{{Article détaillé|Force vive (physique)}} |
{{Article détaillé|Force vive (physique)}} |
||
L'énergie cinétique provient du [[grec ancien|grec]] |
L'expression ''énergie cinétique'' provient du [[grec ancien|grec]] {{grec ancien|ἐνέργεια|enérgeia}}, « force en action » et {{grec ancien|κίνησις|kínêsis}}, « mouvement ». |
||
[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]], s'opposant ainsi à [[René Descartes|Descartes]] qui estimait que la [[quantité de mouvement]] se conservait toujours, développa l'idée de la « [[Force vive (physique)|force vive]] » (''{{langue|la|vis viva}}''), à laquelle il attribuait la valeur <math>mv^2</math>. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique. |
[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]], s'opposant ainsi à [[René Descartes|Descartes]] qui estimait que la [[quantité de mouvement]] se conservait toujours, développa l'idée de la « [[Force vive (physique)|force vive]] » (''{{langue|la|vis viva}}''), à laquelle il attribuait la valeur <math>mv^2</math>. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique. |
||
Ligne 34 : | Ligne 34 : | ||
Dans la [[relativité restreinte|théorie de la relativité]], l'énergie cinétique <math>\mathrm E_{c}</math> d'un point matériel de [[masse|masse inerte]] <math>m</math><ref group=N>Il s'agit de la masse du point au repos, dans son référentiel.</ref> se déplaçant à une vitesse <math>v</math> dans un référentiel donné vaut : |
Dans la [[relativité restreinte|théorie de la relativité]], l'énergie cinétique <math>\mathrm E_{c}</math> d'un point matériel de [[masse|masse inerte]] <math>m</math><ref group=N>Il s'agit de la masse du point au repos, dans son référentiel.</ref> se déplaçant à une vitesse <math>v</math> dans un référentiel donné vaut : |
||
<center><math>\mathrm E_c=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^2 \ </math> avec <math>\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> |
<center><math>\mathrm E_c=\frac{\gamma^2}{\gamma+1}mv^2 \ \ </math> avec <math>\ \ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> |
||
</center> |
</center> |
||
Le coefficient <math>\gamma</math> est le [[facteur de Lorentz]], <math>c</math> est la [[vitesse de la lumière]]. |
Le coefficient <math>\gamma</math> (« [[gamma]] ») est le [[facteur de Lorentz]], <math>c</math> est la [[vitesse de la lumière]]. |
||
Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, le [[développement limité]] de l'énergie cinétique <math>\mathrm E_c</math> est : |
Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, le [[développement limité]] de l'énergie cinétique <math>\mathrm E_c</math> est : |
||
Ligne 52 : | Ligne 52 : | ||
<center><math>\mathrm E_{c}= \frac{1}{2} \iiint \rho v^{2} \mathrm{d} \tau </math></center> |
<center><math>\mathrm E_{c}= \frac{1}{2} \iiint \rho v^{2} \mathrm{d} \tau </math></center> |
||
En notant : |
En notant : |
||
* <math>\rho</math> la masse volumique locale ; |
* [[rhô|<math>\rho</math>]] la [[masse volumique]] locale ; |
||
* <math>v</math> la vitesse locale ; |
* <math>v</math> la vitesse locale ; |
||
* <math>\mathrm{d} |
* <math>\mathrm{d}</math>[[tau|<math>\tau</math>]] le [[Volume|volume élémentaire]]. |
||
=== Mise en évidence === |
=== Mise en évidence === |
||
Ligne 60 : | Ligne 60 : | ||
Dans le domaine de validité de la [[mécanique newtonienne]], la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un [[point matériel]] de masse <math>m</math> constante. |
Dans le domaine de validité de la [[mécanique newtonienne]], la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un [[point matériel]] de masse <math>m</math> constante. |
||
La [[ |
La [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|relation fondamentale de la dynamique]] s'écrit : |
||
<center><math>m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\sum \vec{F}</math></center> |
<center><math>m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\sum \vec{F}</math></center> |
||
avec <math>\sum \vec{F}</math></font> la résultante des [[force (physique)|forces]] appliquées au point matériel. Elle comprend les [[force d'inertie|forces d'inertie]] dans le cas d'un [[référentiel (physique)|référentiel]] [[référentiel non inertiel|non galiléen]]. |
avec <math>\sum \vec{F}</math></font> la résultante des [[force (physique)|forces]] appliquées au point matériel. Elle comprend les [[force d'inertie|forces d'inertie]] dans le cas d'un [[référentiel (physique)|référentiel]] [[référentiel non inertiel|non galiléen]]. |
||
Ligne 81 : | Ligne 81 : | ||
== Théorèmes de l’énergie cinétique == |
== Théorèmes de l’énergie cinétique == |
||
Ces théorèmes, valables uniquement dans le cadre de la [[mécanique newtonienne|mécanique classique]], permettent de relier l’énergie cinétique d’un système |
Ces théorèmes, valables uniquement dans le cadre de la [[mécanique newtonienne|mécanique classique]], permettent de relier l’énergie cinétique d’un système aux [[travail d'une force|travaux]] des [[force (physique)|forces]] auxquelles celui-ci a été soumis. |
||
===Pour un point=== |
===Pour un point=== |
||
Ligne 90 : | Ligne 90 : | ||
<center><math> \underset{ A \rightarrow B} \Delta \ \mathrm E_{c}= \mathrm E_{c}^{B}-\mathrm E_{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma}}</math></center>}} |
<center><math> \underset{ A \rightarrow B} \Delta \ \mathrm E_{c}= \mathrm E_{c}^{B}-\mathrm E_{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma}}</math></center>}} |
||
avec <math>\mathrm E_{c}^{A}</math> et <math>\mathrm E_{c}^{B}</math> les énergies cinétiques du point respectivement aux positions <math>A</math> et <math>B</math>. Le résultat ne dépend pas du chemin <math>\Gamma</math> suivi entre <math>A</math> et <math>B</math>, ce qui découle du caractère exact de la [[différentielle]] de l'énergie cinétique. Le terme des travaux |
avec <math>\mathrm E_{c}^{A}</math> et <math>\mathrm E_{c}^{B}</math> les énergies cinétiques du point respectivement aux positions <math>A</math> et <math>B</math>. Le résultat ne dépend pas du chemin <math>\Gamma</math> suivi entre <math>A</math> et <math>B</math>, ce qui découle du caractère exact de la [[différentielle]] de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prend en compte à la fois les forces [[force conservative|conservatives]] et les forces non conservatives. Pour un point matériel, toutes les forces sont extérieures. |
||
On est déduit le théorème de la [[puissance (physique)|puissance]] cinétique : |
On est déduit le théorème de la [[puissance (physique)|puissance]] cinétique : |
||
Ligne 108 : | Ligne 108 : | ||
=== Démonstration pour un point === |
=== Démonstration pour un point === |
||
D’après la [[ |
D’après la [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|deuxième loi de Newton]], l’[[accélération]] du [[barycentre (physique)|centre de gravité]] est liée aux forces qui s’exercent sur le point par la relation : |
||
<center><math>m\,\vec{a}=\vec{F}</math></center> |
<center><math>m\,\vec{a}=\vec{F}</math></center> |
||
Pendant une durée <math>\mathrm{d}t</math>, le point se déplace de <math>\mathrm{d}\vec{\ell}=\vec{v}\, \mathrm{d}t</math> où <math>\vec{v}</math> est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces : |
Pendant une durée <math>\mathrm{d}t</math>, le point se déplace de <math>\mathrm{d}\vec{\ell}=\vec{v}\, \mathrm{d}t</math> où <math>\vec{v}</math> est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces : |
||
Ligne 119 : | Ligne 119 : | ||
<center><math>W=\frac{1}{2}m\,\left (\left\|\vec{v_B}\right\|^2 - \left\|\vec{v_A}\right\|^2\right )=\frac{1}{2}m\,\left ( v_B^2-v_A^2 \right ) = \mathrm E_{c_B}- \mathrm E_{c_A}</math></center> |
<center><math>W=\frac{1}{2}m\,\left (\left\|\vec{v_B}\right\|^2 - \left\|\vec{v_A}\right\|^2\right )=\frac{1}{2}m\,\left ( v_B^2-v_A^2 \right ) = \mathrm E_{c_B}- \mathrm E_{c_A}</math></center> |
||
== Théorème |
== Théorème énergétique de König == |
||
{{Article détaillé|théorèmes de König (mécanique)}} |
{{Article détaillé|théorèmes de König (mécanique)}} |
||
Il est possible de réécrire l'énergie cinétique d'un solide sous la somme de deux termes possédant chacun une |
Il est possible de réécrire l'énergie cinétique d'un solide sous la somme de deux termes possédant chacun une interprétation physique. |
||
=== Énoncé === |
=== Énoncé === |
||
Pour un solide de masse totale <math>m</math> |
Pour un solide de masse totale <math>m</math>, considéré comme un ensemble de [[point matériel|points matériels]] : |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
où : |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | L'énergie <math>E_\mathrm c^*</math> est appelée ''énergie cinétique propre'' du solide, associée aux déplacements propres au solide comme les [[rotation (physique)|rotations]] et les dilatations. Le premier terme correspond à une ''énergie cinétique de translation'' qui ne prendrait pas en compte les mouvements propres du solide. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
En notant : |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | L'énergie <math>\mathrm |
||
=== Pour un solide indéformable === |
=== Pour un solide indéformable === |
||
Ligne 146 : | Ligne 144 : | ||
En notant : |
En notant : |
||
* <math>v</math> la vitesse du centre de masse du solide dans le référentiel d'étude <math>R</math> ; |
* <math>v</math> la vitesse du centre de masse du solide dans le référentiel d'étude <math>R</math> ; |
||
*<math>\vec L</math> le [[moment cinétique]] du solide par rapport à son centre de masse ; |
*<math>\vec L</math> le vecteur [[moment cinétique]] du solide par rapport à son centre de masse ; |
||
* <math>\vec{\omega}</math> le vecteur [[vitesse angulaire]] instantané du solide. Il ne dépend pas du référentiel. |
* <math>\vec{\omega}</math> le vecteur [[vitesse angulaire]] instantané du solide. Il ne dépend pas du référentiel. |
||
Dernière version du 11 juillet 2024 à 14:45
Unités SI | joule (J) |
---|---|
Dimension | M·L 2·T −2 |
Nature | Grandeur scalaire extensive |
Symbole usuel | , ou |
Lien à d'autres grandeurs |
|
En physique, l'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement dans un référentiel donné. Dans le Système international, son unité de mesure est le joule (J).
L'énergie cinétique d'un point matériel dans un référentiel galiléen est égale à la somme des travaux des forces appliquées pour faire passer le point du repos à un mouvement. Ce n'est pas un invariant galiléen, sa valeur dépend du référentiel choisi.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Wooden_roller_coaster_txgi.jpg/220px-Wooden_roller_coaster_txgi.jpg)
Histoire
[modifier | modifier le code]L'expression énergie cinétique provient du grec ἐνέργεια / enérgeia, « force en action » et κίνησις / kínêsis, « mouvement ».
Gottfried Leibniz, s'opposant ainsi à Descartes qui estimait que la quantité de mouvement se conservait toujours, développa l'idée de la « force vive » (vis viva), à laquelle il attribuait la valeur . La force vive est donc le double de l'énergie cinétique.
« Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de mouvement, et que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la force (vive) absolue… On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la force vive qui se conserve[1]… »
Définition
[modifier | modifier le code]Pour un point
[modifier | modifier le code]Dans la théorie de la relativité, l'énergie cinétique d'un point matériel de masse inerte [N 1] se déplaçant à une vitesse dans un référentiel donné vaut :
Le coefficient (« gamma ») est le facteur de Lorentz, est la vitesse de la lumière.
Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, le développement limité de l'énergie cinétique est :
Le terme du premier ordre est l'énergie cinétique classique. Pour un objet de 1 kg allant à la vitesse de 10 km/s, la différence entre énergie cinétique relativiste et classique est d'environ 0,04 J pour une énergie cinétique classique de 50 MJ, soit un écart relatif d'environ , ce qui en fait une très bonne approximation.
Pour un solide
[modifier | modifier le code]On peut assimiler un corps à un système de points matériels de masses et de vitesses . En notant la masse totale du corps, on a .
Conformément à l'extensivité de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique du système de points peut être définie comme la somme des énergies cinétiques des points matériels constituant le système :
Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas. En passant à la limite des milieux continus et en intégrant sur le volume, on obtient :
En notant :
- la masse volumique locale ;
- la vitesse locale ;
- le volume élémentaire.
Mise en évidence
[modifier | modifier le code]Dans le domaine de validité de la mécanique newtonienne, la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un point matériel de masse constante.
La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
avec la résultante des forces appliquées au point matériel. Elle comprend les forces d'inertie dans le cas d'un référentiel non galiléen.
En effectuant le produit scalaire par la vitesse du point, il vient :
On reconnait dans le membre de gauche la quantité qu'on nomme énergie cinétique du point matériel, et dont la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des puissances des forces appliquées au point.
On peut obtenir une expression plus générale en remarquant que , puisque . En introduisant la variation infinitésimale de la quantité de mouvement du corps , on obtient :
où désigne la variation d'énergie cinétique.
Dans le domaine de validité de la mécanique relativiste, la masse d'un objet n'est pas invariant de sa vitesse, et en intégrant on obtient finalement :
Théorèmes de l’énergie cinétique
[modifier | modifier le code]Ces théorèmes, valables uniquement dans le cadre de la mécanique classique, permettent de relier l’énergie cinétique d’un système aux travaux des forces auxquelles celui-ci a été soumis.
Pour un point
[modifier | modifier le code]Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel de masse constante parcourant un chemin entre une position et une position :
La variation d’énergie cinétique du point entre et est égale à la somme des travaux des forces qui s'exercent sur le point le long du chemin :
avec et les énergies cinétiques du point respectivement aux positions et . Le résultat ne dépend pas du chemin suivi entre et , ce qui découle du caractère exact de la différentielle de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prend en compte à la fois les forces conservatives et les forces non conservatives. Pour un point matériel, toutes les forces sont extérieures.
On est déduit le théorème de la puissance cinétique :
Pour un solide
[modifier | modifier le code]Dans un référentiel galiléen, pour un solide déformable[N 2] de masse constante parcourant un chemin reliant un point à un point :
La variation d’énergie cinétique du solide est égale à la somme des travaux des forces intérieures et extérieures qui s'exercent sur et dans le solide le long de :
avec et les énergies cinétiques du solide respectivement aux positions et . Le résultat ne dépend pas du chemin suivi entre et . Les termes des travaux prennent en compte à la fois les forces conservatives et non conservatives.
On est déduit le théorème de la puissance cinétique pour un solide déformable :
Démonstration pour un point
[modifier | modifier le code]D’après la deuxième loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent sur le point par la relation :
Pendant une durée , le point se déplace de où est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :
Si le point parcourt un chemin d’un point à un point , alors le travail total s’obtient en intégrant le long du chemin :
La quantité étant une différentielle exacte, l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi entre et et peut donc être obtenue explicitement :
Théorème énergétique de König
[modifier | modifier le code]Il est possible de réécrire l'énergie cinétique d'un solide sous la somme de deux termes possédant chacun une interprétation physique.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Pour un solide de masse totale , considéré comme un ensemble de points matériels :
L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit comme la somme de deux termes :
- avec
où :
- désigne la vitesse du barycentre du solide dans le référentiel d'étude ;
- désigne la vitesse de chaque point matériel dans le référentiel barycentrique , et sa masse.
L'énergie est appelée énergie cinétique propre du solide, associée aux déplacements propres au solide comme les rotations et les dilatations. Le premier terme correspond à une énergie cinétique de translation qui ne prendrait pas en compte les mouvements propres du solide.
Pour un solide indéformable
[modifier | modifier le code]Pour un solide indéformable, la distance entre chaque point matériel qui le constitue est constante. En d'autres termes, le solide ne se dilate et ne se comprime pas, et ne possède pas de mouvement de torsion. Il peut cependant effectuer une rotation dans le référentiel envisagé.
Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son centre de masse dans et un mouvement de rotation autour d'un axe instantané dans le référentiel barycentrique .
L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit sous la somme de deux termes :
En notant :
- la vitesse du centre de masse du solide dans le référentiel d'étude ;
- le vecteur moment cinétique du solide par rapport à son centre de masse ;
- le vecteur vitesse angulaire instantané du solide. Il ne dépend pas du référentiel.
L'énergie cinétique propre du solide devient alors une énergie cinétique de rotation ou encore une énergie cinétique angulaire.
Si de surcroît, l'axe de rotation est fixe dans le référentiel barycentrique bien choisi, le moment cinétique du solide vérifie , où est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe . Son énergie cinétique de rotation se met alors sous la forme .
Lien avec l'énergie thermique
[modifier | modifier le code]L’énergie thermique est l’énergie associée à l'agitation des molécules et des atomes qui forment la matière. Pour un gaz parfait, l'expression de l'énergie thermique prend une forme analogue à l'énergie cinétique :
En notant :
- la vitesse quadratique moyenne ;
- la température ;
- la constante de Boltzmann.
De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique par rayonnement. Ce rayonnement thermique peut être approché sous certaines conditions par le modèle du rayonnement du corps noir. La relation entre la chaleur, la température et l’énergie cinétique des atomes et des molécules est l’objet de la mécanique statistique et de la thermodynamique.
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]- Il s'agit de la masse du point au repos, dans son référentiel.
- Dans le cas d'un solide indéformable, les puissances et travaux intérieurs sont nuls, et on est ramené au cas du point matériel.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) G. W. Leibniz von Freiherr, « Specimen dynamicum », dans Philip P. Wiener, Leibniz Selections [« Sélections de Leibniz »], New York, Charles Scribner's Sons, (1re éd. 1951), 606 p., 21 cm (ISBN 9780684175959, OCLC 12309633), Part 2: First Principles: Foundations of the Sciences, Chapter 5.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :