Action d'Einstein-Hilbert
L'action d'Einstein-Hilbert, ainsi désignée en l'honneur d'Albert Einstein et David Hilbert, est un objet mathématique homogène à une action. Elle décrit la dynamique du champ gravitationnel[1],[2]. Elle est utilisée, en relativité générale, pour dériver le tenseur d'Einstein[3] et l'équation d'Einstein dans le vide[2],[3], ce au moyen d'un principe variationnel[1] appelé principe de moindre action.
Expression
[modifier | modifier le code]L'intégrale[4] d'action d'Einstein-Hilbert[1],[5],[6],[N 1] est souvent notée [1],[5],[N 2].
Elle est donnée par[13],[14] :
où :
- est la courbure scalaire de Ricci, définie comme la trace du tenseur de Ricci : [15] ;
- est l'élément de volume invariant[16] :
- est le déterminant[16] du tenseur métrique : ;
- est l'élément de volume en coordonnées[16] : [17] ;
- est la vitesse de la lumière dans le vide ;
- est la constante de Newton pour la gravitation ;
- est le nombre pi ;
- est la constante d'Einstein pour la gravitation : [18].
Avec , l'action d'Einstein-Hilbert s'écrit[19] :
- ,
où :
- est la masse de Planck réduite[19], définie par[19] .
Dimension
[modifier | modifier le code]L'action d'Einstein-Hilbert est, par définition, homogène à une action : [20],[21].
L'équation aux dimensions est obtenue en considérant que le tenseur métrique est une grandeur sans dimension : [22],[20]. Il en résulte que la dimension du tenseur de Ricci est celle de l'inverse du carré d'une longueur : [22]. Il en résulte que la courbure de Ricci a la même dimension [22]. D'autre part, la dimension de est celle d'un volume à quatre dimensions : [20].
- Remarque
- Certains manuels définissent l'action d'Einstein-Hilbert avec un facteur au lieu d'un facteur [23]. Avec ce choix, la quantité obtenue n'a pas la dimension d'une action[23].
Dérivation des équations d'Einstein
[modifier | modifier le code]Supposons que notre théorie ne contienne que l'action d'Einstein-Hilbert ainsi qu'un terme décrivant n'importe quel champ de matière. L'action totale est donc :
.
La variation de l'action par rapport à l'inverse de la métrique doit être nulle pour les solutions, donnant l'équation :
- .
Puisque cette équation tient pour toute variation , cela implique que
est l'équation du mouvement pour la métrique. Le membre de droite de l'équation est (par définition) proportionnel au tenseur énergie-impulsion,
.
pour calculer le membre de gauche de l'équation, nous avons besoin des variations du scalaire de Ricci et du déterminant de la métrique. Elles peuvent être calculées de façon élémentaire comme donné ci-dessous, méthode qui est principalement inspirée de Carroll 2004.
Variation du tenseur de Riemann, du tenseur de Ricci et du scalaire de Ricci
[modifier | modifier le code]Pour calculer la variation de la courbure de Ricci, on commence par calculer la variation du tenseur de Riemann, puis du tenseur de Ricci. Rappelons que le tenseur de Riemann est localement défini par
- .
Puisque le tenseur de Riemann ne dépend que des symboles de Christoffel , sa variation peut être calculée comme
- .
Maintenant, puisque est la différence de deux connexions, il s'agit d'un tenseur, dont on peut calculer la dérivée covariante,
- .
Nous pouvons alors observer que la variation du tenseur de Riemann ci-dessus est exactement égale à la différence de deux tels termes,
- .
On peut désormais obtenir la variation du tenseur de Ricci simplement en contractant deux indices dans l'expression de la variation du tenseur de Riemann, et nous obtenons alors l'identité de Palatini:
- .
La courbure de Ricci est alors définie comme
- .
Par conséquent, sa variation par rapport à l'inverse de la métrique est donnée par
Dans la seconde ligne, nous avons utilisé la compatibilité de la métrique avec la connexion , et le résultat obtenu précédemment sur la variation du tenseur de Ricci.
Le dernier terme,
- , i.e. with ,
multiplié par , devient une [dérivée totale], puisque pour tout vecteur et toute densité de tenseur nous avons:
- oder
et ainsi par le théorème de Stokes il ne reste d'un terme de bord après intégration. Le terme ne bord n'est en général pas nul, puisque l'intégrande ne dépend pas seulement de mais aussi de ses dérivées partielles ; voir l'article termes de bord de Gibbons–Hawking–York pour plus de détails. Néanmoins, lorsque la variation de la métrique varie dans le voisinage du bord ou lorsqu'il n'y a pas de bords, ce terme ne contribue pas à la variation de l'action. Ainsi, nous obtenons :
- ,
en dehors des bords.
Variation du déterminant
[modifier | modifier le code]On rappelle la différentielle du déterminant
- ,
que l'on peut calculer par exemple via la formule explicite du déterminant et d'un développement limité [24]
. Grâce à ce résultat, nous obtenons
Dans la dernière égalité, nous avons utilisé le fait que
qui suit de la différentielle de l'inverse d'une matrice
- .
Ainsi, nous concluons que
.
Équation du mouvement
[modifier | modifier le code]Maintenant, nous avons toutes les variations nécessaire pour obtenir l'équation du mouvement. On insère les équations calculées dans l'équation du mouvement pour la métrique pour obtenir
,
qui est l'équation d'Einstein, et
a été choisi de sorte à obtenir la limite non-relativiste souhaitée: la loi universelle de la gravitation de Newton, où est la constante gravitationnelle.
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- Basdevant 2022, chap. 7, sec. 7.1, p. 144.
- Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, chap. 7, sec. 7.2, p. 122.
- Romero et Vila 2013, chap. 1er, sec. 1.6, p. 15.
- Das et DeBenedictis 2012, chap. 4, sec. 4.2, p. 293.
- Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 19, sec. 19.2, p. 528.
- Rovelli 2022, chap. 5, p. 91.
- Barrau et Grain 2016, chap. 6, sec. 6.2, p. 105.
- Gourgoulhon 2014, chap. 4, sec. 4.5, § 4.5.1, p. 115.
- Connes 1997, § 5, p. 343.
- Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. action (sens 2), p. 11, col. 1.
- Padmanabhan 2010, chap. 15, sec. 15.4, p. 654.
- Walz 2016, s.v. Einstein-Hilbert-Wirkung, p. 20, col. 1.
- Bambi 2018, chap. 7, § 7.3, (7.24) et (7.25), p. 128.
- Maggiore 2018, chap. 13, § 13.2, (13.10), p. 192.
- Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. courbure de Ricci, p. [173], col. 2.
- Rovelli 2022, chap. 5, p. 93.
- Poisson et Will 2014, p. 230.
- Bambi 2018, chap. 7, § 7.2 (7.19), p. 127.
- Tong 2019, chap. 4, sec. 4.1, § 4.1.1, p. 145.
- Hübsch 2015, chap. 9, sec. 9.2, § 9.2.2, p. 327.
- Tong 2019, chap. 4, sec. 4.1, § 4.1.1, p. 144.
- Harko et Lobo 2018, part. I, chap. 3, sect. 3.1, indrod., p. 39.
- Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, chap. 7, sect. 7.4, introd., n. 3, p. 129.
- Différentielle du déterminant (lire en ligne)
Voir aussi
[modifier | modifier le code] : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- Carroll, Sean M. (Dec, 1997). Lecture Notes on General Relativity, NSF-ITP-97-147, 231pp, arXiv:gr-qc/9712019
- [Connes 1997] Alain Connes, « Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral », Astérisque, no 241, , exposé no 816, p. 313-349 (OCLC 203173298, MR 1472544, zbMATH 0942.46044, lire en ligne
[PDF]).
- [Das et DeBenedictis 2012] (en) Anadijiban Das et Andrew DeBenedictis, The general theory of relativity : a mathematical exposition, New York, Springer, hors coll., (réimpr. ), 1re éd., XXVI-678 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-1-4614-3657-7 et 978-1-4899-8717-4, EAN 9781461436577, OCLC 819196172, DOI 10.1007/978-1-4614-3658-4, SUDOC 164718486, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Harko et Lobo 2018] (en) Tiberiu Harko et Francisco S. N. Lobo, Extensions of f (R) gravity : curvature-matter couplings and hybrid metric-Palatini theory, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », , 1re éd., XVII-456 p., 24,5 cm (ISBN 978-1-108-42874-3, EAN 9781108428743, OCLC 1042212796, DOI doi.org/10.1017/9781108645683, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Hübsch 2015] (en) Tristan Hübsch, Advanced concepts in particle and field theory, Cambridge, CUP, hors coll., , 1re éd., XV-563 p., 25,3 cm (ISBN 978-1-107-09748-3, EAN 9781107097483, OCLC 935796660, DOI 10.1017/CBO9781316160725, Bibcode 2015acpf.book.....H, SUDOC 200553526, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore, Gravitational waves, t. 2 : Astrophysics and cosmology, Oxford, OUP, hors coll., , 1re éd., XIV-820 p., 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, DOI 10.1093/oso/9780198570899.001.0001, SUDOC 225716968, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Padmanabhan 2010] (en) Thanu Padmanabhan, Gravitation : foundations and frontiers, Cambridge, CUP, hors coll., , 1re éd., XXVIII-700 p., 17,9 × 25,4 cm (ISBN 978-0-521-88223-1, EAN 9780521882231, OCLC 672212945, BNF 42511898, DOI 10.1017/CBO9780511807787, Bibcode 2010grav.book.....P, SUDOC 143152386, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Rovelli 2022] Carlo Rovelli (trad. de l'anglais par Marc Lachièze-Rey), Relativité générale : l'essentiel : idées, cadre conceptuel, trous noirs, ondes gravitationnelles, cosmologie et éléments de gravité quantique [« General relativity : the essentials »], Malakoff, Dunod, coll. « Quai des sciences », , 1re éd., 201 p., 14 × 21,5 cm (ISBN 978-2-10-084203-2, EAN 9782100842032, OCLC 1346096071, BNF 47119408, SUDOC 264438132, présentation en ligne, lire en ligne).
Manuels d'enseignement supérieur
[modifier | modifier le code]- [Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Paris, Dunod, coll. « Sciences sup / physique », , 2e éd. (1re éd. ), VIII-231 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Basdevant 2022] Jean-Louis Basdevant, Principes variationnels de la physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, coll. « LMD / physique », , 4e éd., 206 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-3981-1, EAN 9782807339811, OCLC 1314120244, BNF 47014413, SUDOC 262224887, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] (en) Valeria Ferrari, Leonardo Gualtieri et Paolo Pani, General relativity and its applications : black holes, compact stars and gravitational waves, Boca Raton, CRC, hors coll., , 1re éd., XVIII-475 p., 25,4 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 et 978-0-367-62532-0, EAN 9781138589773, OCLC 1247682853, DOI 10.1201/9780429491405, SUDOC 255050844, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael Hobson P., George P. Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais américain par Loïc Villain, révision scientifique de Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck Supérieur, coll. « Noire », , 1re éd., XX-554 p., 21,6 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Provost, Raffaelli et Vallée 2019] Jean-Pierre Provost, Bernard Raffaelli et Gérard Vallée, Mathématiques en physique : concepts et outils : cours et applications, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup / mathématiques », , XIV-366 p., 17,5 × 25 cm (ISBN 978-2-10-079023-4, EAN 9782100790234, OCLC 1083672225, BNF 45652597, SUDOC 233556478, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Poisson et Will 2014] (en) Eric Poisson et Clifford M. Will, Gravity : newtonian, post-newtonian, relativistic, Cambridge, CUP, hors coll., , 1re éd., XIV-780 p., 19,3 × 25,3 cm (ISBN 978-1-10-703286-6, EAN 9781107032866, OCLC 881740360, DOI 10.1017/CBO9781139507486, Bibcode 2014grav.book.....P, S2CID 119067447, SUDOC 178990973, présentation en ligne, lire en ligne).
Notes de cours d'enseignement supérieur
[modifier | modifier le code]- [Bambi 2018] (en) Cosimo Bambi, Introduction to general relativity : a course for undergraduate students of physics, Singapour, Springer, coll. « Undergraduate lecture notes in physics », (réimpr. 2020), 1re éd., XVI-335 p., 24 cm (ISBN 978-981-13-1089-8, EAN 9789811310898, OCLC 1049559215, DOI 10.1007/978-981-13-1090-4, SUDOC 229495745, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Romero et Vila 2013] (en) Gustavo E. Romero et Gabriela S. Vila, Introduction to black hole astrophysics, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (no 876), , 1re éd., XVIII-318 p., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-3-642-39595-6, EAN 9783642395956, OCLC 869343537, DOI 10.1007/978-3-642-39596-3, Bibcode 2014LNP...876.....R, SUDOC 175903727, présentation en ligne, lire en ligne).
Dictionnaires et encyclopédies
[modifier | modifier le code]- [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Walz 2016] (en) Guido Walz (éd.), Lexikon der Mathematik, t. II : Eig bis Inn, Berlin et Heidelberg, Springer Spektrum, , 2e éd. (1re éd. ), VII-495 p., 16,6 × 24 cm (ISBN 978-3-662-53503-5, EAN 9783662535035, OCLC 313893770, DOI 10.1007/978-3-662-53504-2, présentation en ligne, lire en ligne).
Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (cours d'introduction à la relativité générale, donné en 2e année du master Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France, année universitaire -), Meudon, observatoire de Paris, , 341 p. (HAL cel-00366315, lire en ligne
[PDF]).
- [Tong 2021] (en) David Tong, General relativity (cours d'introduction à la relativité générale, de niveau master), Cambridge, université de Cambridge, département de mathématiques appliquées et de physique théorique, , 282 p. (présentation en ligne, lire en ligne
[PDF]).