Cercles de Johnson
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Johnson%27s_theorem_illustration.svg/220px-Johnson%27s_theorem_illustration.svg.png)
En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point H en commun. Les trois autres points d'intersection des cercles entre eux possèdent de nombreuses propriétés.
Il se peut, dans le cas où deux des cercles sont tangents, qu'un des points soit confondu avec H mais, même dans ce cas particulier, les résultats énoncés ci-dessous restent valides.
Théorème de Johnson
[modifier | modifier le code]Roger Johnson démontre vers 1916[1] que ces trois points sont sur un cercle de même rayon que les trois premiers cercles.
Système orthocentrique
[modifier | modifier le code]On peut d'autre part observer que le point H est orthocentre du triangle ABC.
En effet, dans les losanges définis précédemment, le vecteur est orthogonal à la droite (JAJB). Or les égalités vectorielles précédentes permettent de dire que le quadrilatère BJAJBA est un parallélogramme. Le vecteur est donc aussi orthogonal à (AB).
Il en est de même du vecteur et de la droite (AC) ainsi que du vecteur et de la droite (BC). Le point H est bien orthocentre du triangle (ABC).
Triangle de Johnson
[modifier | modifier le code]On appelle triangle de Johnson, le triangle formé par les centres des trois cercles. Ce triangle est le symétrique du triangle formé par les points d'intersection des trois cercles, par rapport au centre du cercle des neuf points commun aux deux triangles.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Johnson%27s_theorem_2.svg/220px-Johnson%27s_theorem_2.svg.png)
On peut remarquer en outre que les deux triangles ont même droite d'Euler qui, passant par J, reste globalement invariante par la symétrie de centre J et que les points O et H, centres respectifs des cercles circonscrits aux deux triangles sont également symétriques par rapport à ce point.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- David Wells, dans Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques, Eyrolles, 1995 (ISBN 978-2-212-03637-4)
Lien externe
[modifier | modifier le code](en) Eric W. Weisstein, « Johnson's Theorem », sur MathWorld