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Décomposition de domaine

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Symbole de la méthode défini par Herman Schwarz.

En physique mathématique et en analyse numérique, la décomposition de domaine est un procédé de résolution - généralement numérique - d'un problème reposant sur la division du domaine de calcul en autant de sous-domaines que nécessaire, avec ou sans recouvrements. Cette méthode est généralement utilisée dans les problèmes physiques faisant intervenir des échelles très différentes ou couplant des phénomènes de nature différente et en calcul numérique pour l'utilisation de machines de calcul à architecture parallèle.

En analyse numérique

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On distingue les méthodes avec et sans recouvrement de domaines.

Méthodes avec recouvrement

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Ces méthodes, basées sur les travaux de Herman Schwarz en 1869[1] utilisent des domaines avec recouvrement.

La méthode de Schwarz est une méthode dans laquelle le recouvrement sert de lien itératif entre les deux régions et de [2]. Par exemple soit à résoudre :

L'algorithme de Schwarz est le suivant :

Cette méthode est appelée méthode de Schwarz multiplicative par opposition à la modification apportée par Pierre-Louis Lions en 1988 afin de permettre la parallélisation[3]. Dans la dernière équation de l'algorithme on écrit , ce qui conduit à la méthode appelée méthode de Schwarz additive. Ceci a cependant l'inconvénient de doubler le nombre d'opérations élémentaires.

Diverses méthodes ont été développées sur la base de la méthode de Schwarz afin d'étendre ce type d'approche à une méthode sans recouvrement[4] et d'augmenter son efficacité algorithmique, par exemple en utilisant des conditions aux limites de Robin. Certaines de ces méthodes utilisent des conditions aux bords mixtes Dirichlet-Neumann de mise en œuvre difficile[5].

Méthodes sans recouvrement

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Dans ce type de méthode introduite par Janusz Stanisław Przemieniecki en 1963[6] les domaines sont connexes et liés par les valeurs à leur frontière commune. Ces méthodes pour les éléments finis, les différences finies et les méthodes spectrales utilisent le complément de Schur. On distingue :

En physique mathématique

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Les méthodes décrites ci-dessus ne sont qu'une partie des développements de la méthode de décomposition de domaine[9]. Outre les applications qui dérivent directement de ce qui précède dans le calcul calcul hautes performances, on peut décrire certains problèmes spécifiques traitant de problèmes comportant des échelles très différentes, par exemple l'établissement de conditions aux limites de type lois de paroi, du raffinement local de régions (méthodes multi-niveaux)[10] ou celle de propriétés locales évolutives résultant de la résolution d'un problème à « petite échelle » variable temporellement[11].

Références

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  1. (de) H. A. Schwarz, « Ber einen grenzübergang durch alternierendes verfahren », Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, vol. 15,‎ , p. 272–286
  2. Franck Boyer et Florence Hubert, « Méthodes de décomposition de domaine de type Schwarz », sur Institut de mathématiques de Toulouse
  3. (en) P.-L. Lions « On the Schwarz alternating method » ()
    First International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations
  4. (en) P.-L. Lions « On the Schwarz alternating method. III : a variant for nonoverlapping subdomain » () (lire en ligne)
    Third International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations
  5. (en) A. Quarteroni et A. Valli, Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, Oxford University Press,
  6. (en) J. S. Przemieniecki, « Matrix Structural Analysis of Substructures », AIAA Journal, vol. 1,‎ , p. 138-147
  7. (en) L. C. Cowsar, J. Mandel et M. F. Wheeler, « Balancing domain decomposition for mixed finite elements », Mathematics of Computation, vol. 64,‎ , p. 989-1015
  8. (en) Patrick Le Tallec, Jan Mandel et Marina Vidrascu, « A Neumann-Neumann domain decomposition algorithm for solving plate and shell problems », SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 35,‎ , p. 836-867
  9. (en) Alfio Quarteroni, « Introduction to Domain Decomposition Methods », sur École supérieure polytechnique de Rhénanie-Westphalie,
  10. (en) W. Hackbusch, Multigrid Methods and Applications, Springer-Verlag, (ISBN 978-3-662-02427-0)
  11. Pierre Ladevèze et Antony Nouy, « Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation en espace et en temps », Comptes Rendus Mécanique, vol. 330, no 10,‎ , p. 683-689 (lire en ligne)