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Identité vecteur propre-valeur propre

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En algèbre linéaire, l'identité vecteur propre-valeur propre est une formule reliant la norme d'un vecteur propre d'une matrice hermitienne à ses valeurs propres ainsi qu'à celles de ses matrices mineures (obtenues en supprimant une ligne et une colonne). Elle s'étend aux matrices diagonalisables.

Cette identité a été redécouverte plusieurs fois dans la littérature.

Pour une matrice hermitienne de taille , on note ses valeurs propres (réelles) éventuellement répétées selon leurs multiplicités. On note un vecteur propre normalisé associé à .

L'identité vecteur propre-valeur propre est

est la -ième composante de et où est la sous-matrice de obtenue en supprimant la ligne et la colonne de (c'est encore une matrice hermitienne).

Références

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  • Peter B. Denton, Stephen J. Parke, Terence Tao et Xining Zhang, « Eigenvectors from Eigenvalues: A Survey of a Basic Identity in Linear Algebra », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 59, no 1,‎ , p. 31–58 (DOI 10.1090/bull/1722, arXiv 1908.03795, S2CID 213918682, lire en ligne [archive du ])
  • Natalie Wolchover, « Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math », Quanta Magazine,‎ (lire en ligne, consulté le )