Méthode de Simpson
En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson, est une technique de calcul numérique d'une intégrale, c'est-à-dire le calcul approché de :
Cette méthode utilise l'approximation d'ordre 2 de f par un polynôme quadratique P prenant les mêmes valeurs que f aux points d'abscisse a, b et m = (a + b)⁄2. Pour déterminer l'expression de cette parabole (polynôme de degré 2), on utilise l'interpolation lagrangienne. Le résultat peut être mis sous la forme :
Un polynôme étant une fonction très facile à intégrer, on approche l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a, b], par l'intégrale de P sur ce même intervalle. On a ainsi la simple formule :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Simpson_rule.png/350px-Simpson_rule.png)
Un autre moyen d'arriver à ce résultat est d'appliquer les formules de Newton-Cotes avec n = 2.
Si f est 4 fois continument différentiable sur [a, b], l'erreur d'approximation vaut :
- où
Cette expression du terme d'erreur signifie que la méthode de Simpson est exacte (c'est-à-dire que le terme d'erreur s'annule) pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3. De plus, cette méthode est d'ordre 4 pour toute fonction continûment dérivable quatre fois sur [a, b].
Forme composite
[modifier | modifier le code]Par ailleurs, il apparaît que plus l'intervalle est petit, plus l'approximation de la valeur de l'intégrale est bonne. Par conséquent, pour obtenir un résultat correct, on subdivise l'intervalle [a, b] en sous-intervalles et on additionne la valeur obtenue sur chaque intervalle. Soit :
où :
- n est le nombre de sous-intervalles de [a, b] ;
- h =(b – a)⁄n est la longueur de ces sous-intervalles ;
- pour
Pour cette formule composite, le terme d'erreur devient égal à
ce qui signifie que la méthode composite fournit aussi des résultats exacts pour des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
À la fois à cause de sa simplicité de mise en œuvre et sa bonne précision, cette méthode est la plus utilisée par les calculatrices pour tous calculs approchés d'intégrales de fonctions explicites.
Méthode 3/8 de Simpson
[modifier | modifier le code]La méthode 3/8 de Simpson, ou deuxième méthode de Simpson, s'appuie cette fois sur une approximation cubique de la fonction plutôt qu'une approximation quadratique : où est le pas.
L'erreur est donnée par où . La méthode 3/8 est donc deux fois plus précise que la méthode classique, mais nécessite une évaluation supplémentaire de la fonction[1].
Pour une formule basée sur une interpolation d'ordre supérieur, on pourra se tourner vers les formules de Newton-Cotes.
On peut également dériver la formule 3/8 de Simpson pour en tirer une forme composite :
L'erreur est évaluée avec[1] mais il apparait clairement que la formule n'est utilisable pour n multiple de 3.
Références
[modifier | modifier le code]- John H. Matthews, « Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration » [archive du ], sur Numerical Analysis - Numerical Methods Project, California State University, Fullerton, (consulté le )
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Article connexe
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- Formules de Newton-Cotes sur math-linux.com
- (en) Eric W. Weisstein, « Simpson's Rule », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Simpson's 3/8 Rule », sur MathWorld