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Nombre premier de Sophie Germain

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Un nombre premier G est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, qui est alors appelé nombre premier sûr et noté S dans ce qui suit.

Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le « premier cas ») est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que xG + yG = zG.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.

Listes de nombres premiers de Sophie Germain

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Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229 et 1 289.

Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme Gi inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté Si = 2Gi + 1 dans la case immédiatement au-dessous.

Quantité de nombres premiers de Sophie Germain

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Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est[1] 2C2 n / (ln n)² où C2 est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 104, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190. Pour n = 107, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.

Chaîne de Cunningham

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Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.

Exemple d'application

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Soit un nombre premier de la forme . Alors est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne est un nombre composé dont est un diviseur[2]. Ce théorème dû à Euler[2] peut être utilisé comme test de primalité[2]; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent est divisible par 167 et n'est donc pas premier.

Références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sophie Germain prime » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Victor Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Cambridge University Press, (lire en ligne), chap. 5.5.5 (« Sophie Germain primes »), p. 123-124.
  2. a b et c G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 6 (« Le théorème de Fermat et ses conséquences »), section 6.15.

Article connexe

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Conjecture de Dickson

Lien externe

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« Nombres - Curiosités, théorie et usages : Nombres premiers de Sophie Germain », sur villemin.gerard.free.fr