Réseau réciproque
En cristallographie, le réseau réciproque d'un réseau de Bravais est l'ensemble des vecteurs tels que :
pour tous les vecteurs position du réseau de Bravais. Ce réseau réciproque est lui-même un réseau de Bravais, et son réseau réciproque est le réseau de Bravais de départ.
Maille du réseau réciproque
[modifier | modifier le code]Un cristal peut se décrire comme un réseau aux nœuds duquel se trouvent des motifs : atome, ion, molécule.
Si l'on appelle les vecteurs définissant la maille élémentaire, ces vecteurs définissent une base de l'espace. On peut définir une base réciproque par vérifiant[1]
ce qui donne :
où est le volume de la maille du réseau direct (calculé à l'aide du produit mixte des vecteurs de la maille) :
Les points ayant des coordonnées entières dans le repère forment un réseau appelé réseau réciproque.
Application
[modifier | modifier le code]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Reciprocal_space.png/220px-Reciprocal_space.png)
L'étude des cristaux se fait en général par diffraction d'un rayonnement ayant une longueur d'onde de l'ordre de la distance inter-atomique. À partir de la figure de diffraction obtenue, on peut déterminer la forme du réseau, et donc la structure du cristal.
Si l'on appelle :
- le vecteur d'onde du rayonnement incident ;
- le vecteur des ondes diffusées dans une direction donnée ;
- le vecteur de diffusion (ou vecteur de diffraction) défini par
alors la condition de diffraction sur un monocristal est donnée par le théorème de Bloch :
- il y a diffraction si est un vecteur du réseau réciproque.
Exemples de réseaux réciproques
[modifier | modifier le code]Pour trouver le réseau réciproque il faut considérer la maille primitive. On utilise par contre couramment des réseaux non-primitifs, comme le cubique centré (2 nœuds par maille) et le cubique à faces centrées (4 nœuds par maille).
Réseau (paramètre) | Réseau réciproque (paramètre) | Première zone de Brillouin |
---|---|---|
cubique | cubique | cube |
cubique centré | cubique faces centrées | octaèdre obtus |
cubique faces centrées | cubique centré | dodécaèdre rhombique |
Ici on a posé
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Il existe deux manières de définir le vecteur d'onde : soit sa norme est , on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est et on a alors :