Teorema di Millman
Il teorema di Millman (dal nome del suo ideatore Jacob Millman) si applica alle reti elettriche — in corrente continua o alternata — binodali, ovvero costituite da n rami tutti derivati da due nodi. La sua formulazione deriva da un caso particolare del metodo di risoluzione di reti elettriche conosciuto come potenziale ai nodi.
Esso afferma che
- «la tensione ai capi del bipolo della rete è data dal rapporto tra la somma algebrica delle correnti di corto circuito dei singoli rami e la somma delle conduttanze di ogni ramo».
In formule:
dove le sommatorie sono estese a tutti i rami.
Nel circuito binodale in figura, considerando i generatori sotto forma di generatori di corrente, si ha una sola equazione di potenziale ai nodi:
- (formula 1).
dove Icn è la corrente che scorre nel ramo n-esimo. Vb, come potenziale di riferimento, ha valore zero: . La (formula 1) può essere riscritta come:
la quale è la formula che permette di calcolare direttamente la tensione ai capi AB della rete e l'espressione analitica del teorema di Millman.
Le correnti Ic1, Ic2, Icn possono essere riscritte come qui sotto, nel caso che i generatori in questione siano generatori di tensione:
In quest'ultima espressione si capisce perché nell'enunciato del teorema si afferma somma algebrica delle correnti di corto circuito dei singoli rami : infatti l'espressione al numeratore della formula qui sopra definisce le correnti nei vari rami se ciascuno di essi fosse cortocircuitato (vale a dire se fossero collegati in cortocircuito i nodi A e B).
Formulazione alternativa
[modifica | modifica wikitesto]Siano ek i generatori di tensione e am i generatori di corrente.
Siano Ri le resistenze sui rami senza generatori.
Siano Rk le resistenze sui rami con i generatori di tensione.
Siano Rm le resistenze sui rami con i generatori di corrente.
Il teorema di Millman afferma che la tensione ai terminali del circuito è data da:
Componenti che non influenzano il teorema di Millman
[modifica | modifica wikitesto]Si può comunque applicare il teorema di Millman anche quando ci sono componenti in più che però non influenzano la corrente entrante nei nodi su cui si sta applicando il teorema. I casi sono:
- impedenza in parallelo ad un generatore di tensione appartenente ad un lato Thevenin trasformabile;
- impedenza che unisce due rami contenenti entrambi un generatore di tensione;
- impedenza in serie ad un generatore di corrente.
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Secondo la Legge di Kirchhoff delle correnti la somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla,
Supponiamo inizialmente che tutti i rami contengano un resistore in serie ad un generatore di tensione, in questo caso le correnti possono essere scritte come:
Sostituendo nella formula della legge di Kirchhoff si ottiene
Prendendo a fattor comune e portando i termini contenenti i generatori di tensione al secondo membro si ottiene:
e quindi il risultato.
Se in uno o più rami è presente un generatore di corrente è evidente che la corrente che arriva al nodo corrisponde alla corrente del generatore, quindi la formula diventa:
La tensione dipende esclusivamente dalle correnti sul nodo A (o B: le correnti sui due nodi sono le medesime a meno del segno), quindi tutti i componenti che non influenzano queste correnti sono ininfluenti, questi includono:
- impedenza in parallelo ad un generatore di tensione;
- impedenza che unisce due rami contenenti entrambi un generatore di tensione;
- impedenza in serie ad un generatore di corrente.
L'ultimo caso da tenere in considerazione è la presenza di un'impedenza in parallelo ad un generatore di corrente. In questo caso la corrente del generatore si suddivide in due parti: una parte attraversa direttamente l'impedenza in parallelo, la restante arriva al nodo. La risoluzione di questo circuito può essere effettuata convertendo il gruppo generatore di corrente-impedenza in parallelo nell'equivalente Thevenin oppure calcolando la corrente che arriva al nodo considerando il partitore di corrente.