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PSL(2, 7)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

射影特殊線型群PSL2(7) (別表記: PSL(2, 7), PSL2(F7), PSL(2, F7)など)もしくはそれと同型PSL3(2) (別表記: PSL(3, 2), PSL3(F2), PSL(3, F2)など)は、代数学幾何学数論といった分野で重要な役割を持つ有限単純群である。PSL2(7)はクラインの平面4次曲線英語版自己同型群と同型で、またファノ平面対称性の群英語版とも同型である。位数168の単純群はPSL2(7)と同型であり、位数60の交代群A5(PSL2(4)、PSL2(5)、正二十面体群と同型。)に次いで2番目に小さな非可換単純群である。

定義

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一般線型群GL2(7)は、7個の要素からなる有限体F7上の行列式が0でない2次正方行列全体のなす群である。SL2(7)はGL2(7)の部分群であり、行列式が1のものだけからなる。このときPSL2(7)は商群

として定義される。ここで、I単位行列である。すなわち、SL2(7)内で1倍と-1倍を同一視したものがPSL2(7)である。

同型

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以下の群はすべて同型である。

  • PSL2(7)
  • GL3(2)
    F2においてGL, SL, PGL, PSLの区別はないので、ただちに次の同型もわかる。
    • SL3(2)
    • PGL3(2)
    • PSL3(2)
  • クラインの平面4次曲線の自己同型群
  • ファノ平面の対称性の群

性質

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PSL2(7)は168個の要素を持つ。これは行列の取り得る列の数を数え上げることで確認できる。1列目には72−1 = 48通りの組み合わせが存在する。2列目には72−7 = 42通りの組み合わせが存在する。ここで行列式が1のものを取り出すために7−1 = 6で割り、Iと-Iを同一視するので2で割る。すると (48×42)/(6×2) = 168が得られる。

一般にPSLn(q)は n, q ≥ 2 (q素数の冪)のとき、 (n, q) = (2, 2), (2, 3)という例外を除いて単純群となる。 PSL2(2)は対称群S3に同型であり、PSL2(3)は交代群A4に同型である。PSL2(7)は交代群A5に次いで2番目に小さな非可換単純群である。

PSL2(7)は6個の共役類および非同型な既約表現をもつ。各共役類の大きさは1, 21, 42, 56, 24, 24であり、各既約表現の次元は1, 3, 3, 6, 7, 8である。

指標表

ただし とする。

PSL2(7)の位数は168=3×7×8なので、位数3,7,8のシロー部分群を持つ。素数位数の群は巡回群に限られるので、前者二つが巡回群であることは容易にわかる。共役類3A56の任意の要素はシロー3部分群を生成する。また、共役類7A24, 7B24の任意の要素はシロー7部分群を生成する。シロー2部分群は位数8の二面体群である。これは共役類2A21の任意の要素の中心化群として記述できる。GL3(2)としての実現では、シロー2部分群は上三角行列の全体と一致する。

参考文献

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さらに詳しく

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  • Brown, Ezra; Loehr, Nicholas (2009). “Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)?”. Am. Math. Mon. 116 (8): 727–732. doi:10.4169/193009709X460859. Zbl 1229.20046. http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/PSL%282,7%29_GL%283,2%29.pdf. 

関連項目

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外部リンク

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