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[[파일:Nullset.png|thumb|공집합|60px]]
[[파일:Nullset.png|섬네일 |100픽셀 |공집합의 기호 ]]
[[수학]]에서, '''공집합'''(空集合, empty set)은 [[원소 (수학)|원소]]가 하나도 없는 [[집합]]을 말한다. 기호로는 <math>\{\quad\}</math>이나 <math>\emptyset</math>를 쓴다.
[[수학]]에서, '''공집합'''(空集合, {{llang|en| empty set}} )은 [[원소 (수학)|원소]]가 하나도 없는 [[집합]]이다 . 기호는 <math>\{\}</math> 또는 <math>\varnothing </math>.
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기호 <math>\
emptyset</math>는 프랑스의 수학자이며 [[니콜라 부르바키]]의 회원이었던 [[앙드레 베유]]가 문자 [[Ø]]로부터 도입하였다. 그리스 문자 <math>\phi</math>를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.
공집합 <math>\varnothing</math>은 아무런 [[원소 (수학)|원소]]를 가지지 않는 [[집합]]이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.
* 임의의 <math>x\in\varnothing</math>에 대하여, <math>x\ne x</math>
== 성질 ==
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[[수 (수학)|수]], 특히 [[자연수]]를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. <math>0:=\emptyset, \ 1:=\{\emptyset\}, \ 2:=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \ \cdots</math> 이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 [[무한 공리]]에서 사용하는 방법이다.
모든 집합 <math>A</math>에 대하여,
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* 공집합은
<math>A</math>의 [[부분집합]]이다.
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* :<math>\
varnothing \
subset A</math>
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* 집합
<math>A</math>와 공집합의 [[합집합]]은 집합 A이다.
*:<math>A \cup \varnothing = A</math>
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* 집합
<math>A</math>와 공집합의 [[교집합]]은 공집합이다.
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* :<math>A \cap \
varnothing = \
varnothing </math>
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* 집합
<math>A</math>와 공집합의 [[곱집합]]은 공집합이다.
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* :<math>A \times \
varnothing = \
varnothing </math>
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* 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
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* :<math>A \subset \
varnothing \
Longrightarrow A = \
varnothing </math>
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* 공집합의 [[멱집합]]은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
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* :<math>2^\
varnothing = \{\
varnothing \}</math>
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* 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 [[기수 (수학)|기수]]가 0 이다. 공집합은 유한집합이다.
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* :<math>\mathrm{card}(\
varnothing )= 0</math>
==성질==
== 응용 ==
=== 공허하게 참인 명제 ===
'''공허하게 참인 명제'''(空虛-命題, {{llang|en|vacuously true statement}})는 [[공집합]]에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.
* <math>\forall x\in\varnothing\colon\phi(x)</math>
* <math>\phi\implies\psi</math> (여기서 <math>\phi</math>는 거짓 명제이다.)
공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 [[모순 명제]]이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.
예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.
모든 집합 A에 대해서 :
:임의의 <math>x\in\varnothing</math>에 대하여, <math>x\ne x</math>
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:<math>\forall A: \emptyset \subset A</math>
:만약 <math>3<x<2</math>라면, <math>6<2x<4 </math>이다.
=== 공집합에 대한 합과 곱 ===
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* 집합
A와 집합 A의 공집합의 [[합집합]]은 집합 A이다.
{{본문|합|곱}}
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:<math>\
forall A: A \
cup \emptyset = A</math>
편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\sum_{x\in\varnothing}x=0</math>
:<math>\prod_{x\in\varnothing}x=1</math>
=== 집합론 ===
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* 집합
A와 집합 A의 공집합의 [[교집합]]은 공집합이다.
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[[수 (수학)|수]], 특히 [[자연수]]를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. <math>0:=\emptyset, \ 1:=\{\emptyset\}, \ 2:=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \ \cdots</math> 이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 [[무한 공리]]에서 사용하는 방법이다.
⚫
:<math>
\forall A: A \cap \
emptyset = \
emptyset</math>
== 역사 ==
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* 집합
A와 집합 A의 공집합의 [[곱집합]]은 공집합이다.
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공집합의 기호 <math>\
varnothing </math>는 프랑스의 수학자이며 [[니콜라 부르바키]]의 회원이었던 [[앙드레 베유]]가 문자 [[Ø]]로부터 도입하였다. 그리스 문자 <math>\phi</math>를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.
⚫
:<math>
\forall A: A \times \
emptyset = \
emptyset</math>
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⚫
* 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
⚫
:<math>
\forall A: A \subset \
emptyset \
Rightarrow A = \
emptyset</math>
⚫
* 공집합의 [[멱집합]]은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
⚫
:<math>2^\
emptyset = \{\
emptyset\}</math>
⚫
* 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 [[기수 (수학)|기수]]가 0 이다. 공집합은 유한집합이다.
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:<math>\mathrm{card}(\
emptyset)= 0</math>
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베유의 자서전에 따르면, 그의 딸이 학교에서 집합을 공부할 때 "그 기호들을 만든 사람이 아빠란다."라고 하여 딸을 놀라게 했다고 한다.
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* 베유의 자서전에 따르면, 그의 딸이 학교에서 집합을 공부할 때 "그 기호들을 만든 사람이 아빠란다."라고 하여 딸을 놀라게 했다고 한다.
== 외부 링크 ==
== 외부 링크 ==
공집합의 기호
수학 에서, 공집합 (空集合, 영어 : empty set )은 원소 가 하나도 없는 집합 이다. 기호는
{
}
{\displaystyle \{\}}
또는
∅
{\displaystyle \varnothing }
.
정의
공집합
∅
{\displaystyle \varnothing }
은 아무런 원소 를 가지지 않는 집합 이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.
임의의
x
∈
∅
{\displaystyle x\in \varnothing }
에 대하여,
x
≠
x
{\displaystyle x\neq x}
성질
모든 집합
A
{\displaystyle A}
에 대하여,
공집합은
A
{\displaystyle A}
의 부분집합 이다.
∅
⊂
A
{\displaystyle \varnothing \subset A}
집합
A
{\displaystyle A}
와 공집합의 합집합 은 집합 A이다.
A
∪
∅
=
A
{\displaystyle A\cup \varnothing =A}
집합
A
{\displaystyle A}
와 공집합의 교집합 은 공집합이다.
A
∩
∅
=
∅
{\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }
집합
A
{\displaystyle A}
와 공집합의 곱집합 은 공집합이다.
A
×
∅
=
∅
{\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing }
공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.
공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
A
⊂
∅
⟹
A
=
∅
{\displaystyle A\subset \varnothing \Longrightarrow A=\varnothing }
공집합의 멱집합 은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
2
∅
=
{
∅
}
{\displaystyle 2^{\varnothing }=\{\varnothing \}}
공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 기수 가 0 이다. 공집합은 유한집합이다.
c
a
r
d
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {card} (\varnothing )=0}
응용
공허하게 참인 명제
공허하게 참인 명제 (空虛-命題, 영어 : vacuously true statement )는 공집합 에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.
∀
x
∈
∅
:
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \varnothing \colon \phi (x)}
ϕ
⟹
ψ
{\displaystyle \phi \implies \psi }
(여기서
ϕ
{\displaystyle \phi }
는 거짓 명제이다.)
공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 모순 명제 이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.
예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.
임의의
x
∈
∅
{\displaystyle x\in \varnothing }
에 대하여,
x
≠
x
{\displaystyle x\neq x}
만약
3
<
x
<
2
{\displaystyle 3<x<2}
라면,
6
<
2
x
<
4
{\displaystyle 6<2x<4}
이다.
공집합에 대한 합과 곱
이 부분의 본문은
합 및
곱 입니다.
편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.
∑
x
∈
∅
x
=
0
{\displaystyle \sum _{x\in \varnothing }x=0}
∏
x
∈
∅
x
=
1
{\displaystyle \prod _{x\in \varnothing }x=1}
집합론
수 , 특히 자연수 를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다.
0
:=
∅
,
1
:=
{
∅
}
,
2
:=
{
∅
,
{
∅
}
}
,
⋯
{\displaystyle 0:=\emptyset ,\ 1:=\{\emptyset \},\ 2:=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\ \cdots }
이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한 공리 에서 사용하는 방법이다.
역사
공집합의 기호
∅
{\displaystyle \varnothing }
는 프랑스의 수학자이며 니콜라 부르바키 의 회원이었던 앙드레 베유 가 문자 Ø 로부터 도입하였다. 그리스 문자
ϕ
{\displaystyle \phi }
를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.
베유의 자서전에 따르면, 그의 딸이 학교에서 집합을 공부할 때 "그 기호들을 만든 사람이 아빠란다."라고 하여 딸을 놀라게 했다고 한다.
외부 링크