수학에서 거리 공간(距離空間, 영어: metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.
집합
위의 거리 함수(距離函數, 영어: metric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수
![{\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fd1e6761c77af90cb76c9994fd10b52c9621e1)
이다.
- (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fd7ce57db3ea42e1bbb4aabb703cb709c6bfec)
- (대칭성) 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fea33d0e60116abd16287351eb6bf142a61fdd)
- (삼각 부등식, 영어: triangle inequality) 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fd25ee5a9331ff95eefce6068a0163b1234a21)
마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.
- (삼각 부등식)
![{\displaystyle d(z,y)+d(y,x)\geq d(x,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b012ca166737226c4a3834cfaceb8d9231e4364)
여기서
로 잡으면
가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을
로 약화시키면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.
거리 공간
은 거리 함수가 주어진 집합이다.
거리 공간
에서, 점
를 중심으로 하는, 반지름이
인 열린 공
는 다음과 같다.(저자에 따라서는
로 적기도 한다.)
![{\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16febf5a9ab764eb828d40c1a0513e6c2223082e)
점
를 중심으로 하는, 반지름이
인 닫힌 공
는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\bar {B}}_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)\leq r\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7389ac38155358f511f85c8da2a63fb81b005acf)
거리 공간
의 유계 집합
는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.
인 점
가 존재한다.
거리 공간
의 거리 위상(距離位相, 영어: metric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합
이다.
- 모든
에 대하여,
인
가 존재한다.
거리 위상은 거리 함수
를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합
의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.
모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.
거리 공간
의 지름(영어: diameter)
는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.
![{\displaystyle \operatorname {diam} X=\sup _{x,y\in X}d(x,y)\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11746360455cca7cf9c0fc530852b55a409e71b)
마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.
지름이 유한한 거리 공간을 유계 공간이라고 한다.
거리 공간
의 임의의 부분 집합
에 대하여,
는 거리 공간을 이룬다.
모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
거리 공간
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 실수
에서, 거리가 절댓값을 이용하여,
로 정의되었을 때,
는 완비 거리 공간이다.
- 유리수의 집합
은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
- 유클리드 공간에서,
에서, 거리를
로 정의하면,
는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
에서
을 거리로 정의하면,
는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.
노름 공간
에 대하여, 거리 함수를
![{\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94df456fedac6b08c33cb4dffa5345a0ce0891f0)
로 정의한다면,
는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간
에 대하여 거리 함수를
![{\displaystyle d_{\text{post}}(x,y)=\|x\|+\|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fb2d8dc352ff723c24d6614071abef5442b8a0)
로 정의한다면,
는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리(영어: post-office metric)라고 한다.
임의의 연결 리만 다양체
에 대하여, 거리 함수를
![{\displaystyle d(x,y)=\inf _{\gamma \in C^{1}([0,1],M)}\int _{0}^{1}{\sqrt {g^{-1}(\gamma '(s),\gamma '(s))}}\,ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494a1842a15ea555ddbce366fed7c1797c09f1ac)
로 정의한다면,
는 거리 공간이다.
임의의 집합
및 양의 실수
에 대하여,
![{\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\r&x\neq y\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9e49dff0a39db30926936feef83a3325c5c057)
는 초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다.
임의의 연결 그래프
에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.