호모토피 이론에서 고리 공간(-空間, 영어: loop space)은 어떤 공간 위에 존재하는, 밑점을 보존하는 고리들의 공간이다.[1][2][3] 축소 현수의 오른쪽 수반 함자이다.
점을 가진 공간
위의 고리 공간은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간
이며,
로 쓴다.
위상 공간
위의 자유 고리 공간(영어: free loop space)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간
이며,
로 쓴다.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Icons8_flat_search.svg/18px-Icons8_flat_search.svg.png)
이 부분의 본문은
고리군입니다.
위상군
는 항등원
을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간
및 자유 고리 공간
는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.
![{\displaystyle \alpha \beta \colon \theta \mapsto \alpha (\theta )\beta (\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07067772a99bee460d8ca7936b4b34ad0a929ae0)
이를 각각 고리군(영어: loop group) 및 자유 고리군(영어: free loop group)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형
![{\displaystyle \operatorname {ev} _{0}\colon {\mathcal {L}}G\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bb887fce9caa61a8c56099cd1f87f64a60caa9)
![{\displaystyle \operatorname {ev} _{0}\colon \alpha \mapsto \alpha (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7600866c114143b30f266c23a9f5122dcd867631)
이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.
![{\displaystyle \Omega G=\ker \operatorname {ev} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ffe098fc65fc4d20802d9795d1bb88c0017923)
이 (유한 차원) 리만 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 주는 것을 생각할 수 있다.
구체적으로,
위의 고리
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f996fded967c7c0428088f2d90081eb1b58a1a60)
![{\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97ceb0e61a418e15f5a57cbedc92b43f90303e0)
가운데, 일종의 소볼레프 공간
에 속하는 것들을 생각하자. 즉,
![{\displaystyle \int _{[0,1]}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19a21f98e07d3dcf3c4b653041b282070e8554b)
인 것들을 생각하자. 다시 말해, 이는 유한 에너지 고리들의 공간이다.
그렇다면, 이는 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간)
을 이룬다.[4] 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{\dim M})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcc260d60559f8ee9fd55e52f81e09ee1e151dd)
과 동형이다.
또한, 표준적으로
![{\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {L}}M\cong {\mathcal {L}}\mathrm {T} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0323b58c33a83589f48fe0b8fb71b5182006243c)
가 된다.
소볼레프 매장 정리(영어: Sobolev embedding theorem)에 의하여, 모든
함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다.
이 (유한 차원) 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 매끄러운 함수
![{\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe5bee113d6e1cfe8f479a70a66bcd752e61c2e)
들의 공간
에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ,\mathbb {R} ^{\dim M})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aca293c8f72ea26b45a7d3d7ddd06d266b3efe9)
과 동형이다.
고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \pi _{k+1}(X)=\pi _{k}(\Omega X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d517a6276ec01639ec53dbde02c006c89113e5e0)
특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다.
에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간
,
에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다.
![{\displaystyle [\Sigma X,Y]\cong [X,\Omega Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22252d11cd74b46c16b27435e8ecb638c6efb861)
여기서
는
의 축소 현수이며,
는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.
또한 다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만 이는 동형 사상은 아니다.
![{\displaystyle [X\times \mathbb {S} ^{1},Y]\leftrightarrow [X,{\mathcal {L}}Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee5fc5fb2125d91ad23fda6bb25ae19b45887dd)
고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산
![{\displaystyle \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc363b3198aeab39a283621d10a76d4557132bc9)
이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, "호모토피 아래" 결합 법칙을 따른다. 이 연산으로써 고리 공간은 A∞-공간을 이룬다.
유한 차원 매끄러운 다양체
위의 매끄러운 자유 고리 공간
을 생각하자. 이 위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle (\exp(2\pi \mathrm {i} t)\cdot \gamma )(s)=\gamma (s+t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7393f66360d8dbed88d0f4a547443cf0c7f4f7)
이는 벡터장
![{\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} {\mathcal {L}}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e722b59fd4e550a0175ecb70ee3ba3761b7d9d1)
을 정의하며, 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱
![{\displaystyle X\lrcorner \colon \Omega ^{\bullet }({\mathcal {L}}M)\to \Omega ^{\bullet -1}({\mathcal {L}}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c74cc35753fca314621468588c727a6dac45fa9)
이 존재한다.
고리 공간 위에는 천 미분 형식(영어: Chen differential form) 또는 반복 적분(영어: iterated integral)이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다.[5] 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체
위의 미분 형식
![{\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k}\in \Omega (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ddb9b58136b4696aa340fc84e88b2855e24b192)
![{\displaystyle \deg \alpha _{i}=n_{i}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ab6099834854a6fa96e2861970949158d4476a)
일 때, 천 미분 형식
![{\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})\in \Omega ^{n_{1}+\dotsb +n_{k}+1}({\mathcal {L}}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f5010117f3cba628a9e90cb0f76d5409aa77b3)
을 정의할 수 있다. 이는 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})=\int \dotsi \int _{0\leq t_{1}\leq \dotsb \leq t_{k}\leq 1}\mathrm {d} t_{1}\dotsm \mathrm {d} t_{k}(X\lrcorner \operatorname {ev} _{t_{1}}^{*}\alpha _{1})\wedge \dotsb \wedge (X\lrcorner \operatorname {ev} _{t_{k}}^{*}\alpha _{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a2260b17096370b349a760971957fc3fad5298)
여기서
에 대하여, 값매김 사상
은
이다.
은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다.
은
차원 단체
위의 적분이다.
특히, 만약 한 1차 미분 형식
만이 주어졌을 때, 이는 함수
![{\displaystyle {\mathcal {L}}M\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f41225145b03573897666925df6954254a171b6)
![{\displaystyle \gamma \mapsto \int _{\gamma }A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753eee8788ecd673d77f84ed234d102e51f0b48c)
에 해당한다.
천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다. 구체적으로, 천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다.
![{\displaystyle \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})\wedge \int (\alpha _{k+1},\dotsc ,\alpha _{k+l})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,l)}(-)^{\sigma }\int (\alpha _{\sigma (1)},\dotsc ,\alpha _{\sigma (k+l)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07241bcbc10e8143e8974badd95844b95cb4bf5)
여기서
은 셔플 순열의 집합이다. 즉,
의 순열 가운데
이며
인 것이다.
는 순열의 홀짝성이다.
천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.[5]:Proposition 1.6
![{\displaystyle \mathrm {d} \int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k})=-\sum _{i=1}^{k}(-)^{n_{1}+\dotsb +n_{i-1}}\int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{i-1},\mathrm {d} \alpha _{i},\alpha _{i+1},\dotsc ,\alpha _{k})-\operatorname {ev} _{0}^{*}\alpha _{1}\wedge \int (\alpha _{k},\dotsc ,\alpha _{k})-(-)^{n_{1}}\int (\alpha _{1}\wedge \alpha _{2},\alpha _{3},\dotsc ,\alpha _{k})-(-)^{n_{1}+n_{2}}\int (\alpha _{1},\alpha _{2}\wedge \alpha _{3},\alpha _{4},\dotsc ,\alpha _{k})-\dotsb -(-)^{n_{1}+\dotsb +n_{k-1}}\left(\int (\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{k_{1}})\right)\wedge \operatorname {ev} _{1}^{*}\alpha _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94b9404fd00ad731a1173ecc150c6b8a5cfdddd)