대수기하학에서 모듈라이 공간(moduli空間, 영어: moduli space)은 각 점이 어떤 공간족의 각 원소와 대응하는 공간이다. 이를 사용하여, 여러 분류 문제를 해결할 수 있다. 대수적 위상수학의 분류 공간과 유사한 개념이다.
스킴을 집합으로 대응시키는 함자
가 주어졌다고 하자. 이 함자의 섬세한 모듈라이 공간(영어: fine moduli space)
은
의 표현이다. 즉,
은 스킴이다.
는 자연 동형이다.
이 정의는 다음과 같이 해석한다.
- 함자
는 어떤 밑공간
위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다.
는
위에 존재하는 공간족들이 사상
과 대응한다는 것을 의미한다. 즉,
위의 임의의 공간족은 사상
으로 인한,
위의 보편 공간족(영어: universal family)의 당김으로 유도된다.
함자
의 거친 모듈라이 공간(영어: coarse moduli space)
은 다음을 만족시키는 순서쌍이다.
은 스킴이다.
는 자연 변환이다.
- 모든 대수적으로 닫힌 체
에 대하여, 함수
은 전단사 함수이다.
- 임의의 스킴
및 자연 변환
에 대하여,
인 자연 변환
이 존재한다.
이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다.
일반적으로, 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 아니면 스택과 같은 대상을 사용하여야 한다.
어떤
-벡터 공간
에 대하여, 그라스만 다양체
는
의 (원점을 지나는)
차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이다.
인 경우, 이는 사영 공간으로 불린다.
저우 다양체
는
속의 차수
의 곡선들의 모듈라이 공간이다. 보다 일반적으로, 힐베르트 스킴은 사영 공간 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다.
종수가
인 비특이 사영 대수 곡선들의 경우 (섬세한) 모듈라이 공간이 존재하지 않고, 대신 오직 모듈라이 스택만이 존재하는데, 이를
라고 한다. 여기에 안정 곡선을 추가하여 콤팩트화하면, 종수
의 안정 곡선들의 모듈라이 스택
를 얻는다. 물론 종수가
인 비특이 (또는 안정) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 양의 정보를 담고 있다.
- Harris, Joe; Ian Morrison (1998). 《Moduli of Curves》 (영어). Springer. ISBN 0-387-98429-1.