시작 대상과 끝 대상
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범주론에서 시작 대상(始作對象, 영어: initial object)과 끝 대상(-對象, 영어: terminal object)은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다.
정의
[편집]범주 의 대상 가 주어졌다고 하자.
- 만약 모든 에 대하여 가 하나의 원소만을 갖는다면, 를 에서의 시작 대상이라고 한다.
- 만약 모든 에 대하여 가 하나의 원소만을 갖는다면, 를 에서의 끝 대상이라고 한다.
- 만약 가 에서의 시작 대상이자 끝 대상일 경우, 를 에서의 영 대상(零對象, 영어: zero object)이라고 한다.
성질
[편집]모든 대수 구조 다양체의 범주는 (완비 범주이자 쌍대 완비 범주이므로) 시작 대상과 끝 대상을 갖는다. 시작 대상은 한원소 집합 위의 대수 구조이며, 끝 대상은 한원소 집합으로 생성되는 자유 대수이다. 시작 대상과 끝 대상은 같을 수도, 다를 수도 있다.
모든 아벨 범주는 정의에 따라 영 대상을 갖는다.
예
[편집]범주 | 시작 대상 | 끝 대상 |
---|---|---|
집합의 범주 | 공집합 | 한원소 집합 |
위상 공간의 범주 | 공공간 | 한원소 공간 |
위상 공간의 호모토피 범주 | 공공간 | 한원소 공간 |
작은 범주의 범주 | 공범주 | 하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주 |
모노이드의 범주 | 자명 모노이드 | |
군의 범주 | 자명군 1 | |
아벨 군의 범주 | 자명군 0 | |
(단위원을 갖는) 환의 범주 | 정수환 | 자명환 0 |
(단위원을 갖는) 가환환의 범주 | 정수환 | 자명환 0 |
유사환의 범주 | 자명환 0 | |
아핀 스킴의 범주 | 자명환의 스펙트럼 | 정수환의 스펙트럼 |
스킴의 범주 | 자명환의 스펙트럼 | 정수환의 스펙트럼 |
체의 범주 | (없음) | |
범주로 간주한 부분 순서 집합 () | (만약 존재한다면) 최소 원소 | (만약 존재한다면) 최대 원소 |
범주로 간주한, 자명하지 않은 모노이드 | (없음) | |
하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주 | 유일한 대상 |
참고 문헌
[편집]- Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.
외부 링크
[편집]- “Final object”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Initial object”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Terminal object”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.