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Norma (matemática)

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Uma circunferência centrada na origem de relativa a três normas distintas

Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.

Dado um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais ou complexos, uma função é chamada de norma se, para quaisquer e todo [1]

  • Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma.
  • (desigualdade triangular)

Se o espaço vetorial tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por

Métrica e topologia induzida

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Toda norma induz de forma natural uma métrica em cujos valores são dados por:[2]

Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:

Normas equivalentes

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Duas normas e sobre o mesmo espaço vetorial são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas e tais que:

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

Normas em espaços de dimensão finita

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Seja a representação de um vetor em ou

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas :

O caso particular em que corresponde à norma euclidiana:

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

Norma matricial

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Ver artigo principal: Norma matricial

Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem denotado por uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se então a norma 1 da matriz é o número não negativo dado por[3]

A norma 1 da matriz por exemplo, é[4]

Normas em espaços de dimensão infinita

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Ver artigo principal: Espaço Lp

As normas têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.

Produto interno

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Ver artigo principal: Produto interno

Se um espaço vetorial possui um produto interno, este pode definir uma norma, dada pelo produto interno do vetor com ele mesmo.[5]

Se uma norma provém de um produto interno, ela satisfaz a identidade do paralelogramo.[6]

  1. SANTOS (2010), p.3, ex. 54.
  2. SANTOS (2010), p.60.
  3. Golub, Gene; Van Loan, Charles F. Matrix Computations 3 ed. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. p. 56. ISBN 080185413X 
  4. Boldrini et. al, p. 342.
  5. Lima 1981, p. 4.
  6. Lima 1981, p. 6.
  • SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.
  • Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. p. 342 
  • Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada