Кубооктаэдр
Кубоокта́эдр[1][2] или кубокта́эдр[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 квадратов.
Кубооктаэдр | |||
---|---|---|---|
![]() (вращающаяся модель, 3D-модель) | |||
Тип | архимедово тело | ||
Свойства | выпуклый, изогональный, квазиправильный | ||
Комбинаторика | |||
Элементы |
|
||
Грани |
8 треугольников 6 квадратов |
||
Конфигурация вершины | 3.4.3.4 | ||
Двойственный многогранник | ромбододекаэдр | ||
Классификация | |||
Обозначения | aC, aaT | ||
Символ Шлефли | r{3,4}, rr{3,3} | ||
Группа симметрии | Oh (октаэдрическая) | ||
![]() |
В каждой из его 12 одинаковых вершин сходятся две квадратных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен
Кубооктаэдр имеет 24 ребра равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен
Кубооктаэдр можно получить из куба, «срезав» с него 8 правильных треугольных пирамид; либо из октаэдра, «срезав» с него 6 квадратных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/De_divina_proportione_-_Illustration_33%2C_crop.jpg/200px-De_divina_proportione_-_Illustration_33%2C_crop.jpg)
В координатах
правитьКубооктаэдр с длиной ребра можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел
Начало координат будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.
Метрические характеристики
правитьЕсли кубооктаэдр имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
Вписать в кубооктаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри кубооктаэдра с ребром (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен
Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит и равно
Звёздчатые формы
правитьКубооктаэдр образует звёздчатые формы:
-
Исходный многогранник
-
Первая звёздчатая форма
-
Вторая звёздчатая форма
-
Третья звёздчатая форма
-
Четвёртая звёздчатая форма
Заполнение пространства
правитьОдними только кубооктаэдрами замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений нельзя, но это можно сделать с помощью кубооктаэдров вместе с другими многогранниками:
-
Кубооктаэдры и октаэдры
-
Ромбокубоктаэдры, кубооктаэдры и кубы
-
Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры
В природе и культуре
правитьОдним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра с люком на квадратной грани[4]. Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous[5].
-
Вариант кубика Рубика
Примечания
править- ↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 35.
- ↑ Люстерник, 1956, с. 183.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
- ↑ Coriolis Station (Classic) в энциклопедии Elite Wiki (Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine)
- ↑ Coriolis в энциклопедии Elite Dangerous Wiki (Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine)
Литература
править- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
Ссылки
править- Weisstein, Eric W. Кубооктаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.