Неравенство Йенсена
Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Convex-function-graph-1.png/250px-Convex-function-graph-1.png)
Формулировки
правитьСумматорный вариант неравенства
правитьПусть функция является выпуклой на некотором интервале и числа (веса) таковы, что
- и .
Тогда каковы бы ни были числа из , выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена:
или
- .
Замечания:
- Если функция вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
- Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю :
- .
Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.
Доказательство проводится методом математической индукции.
- Для неравенство следует из определения выпуклой функции как функции, надграфик которой является выпуклым множеством, и, следовательно, хорда, стягивающая точки и , лежит выше графика. Неравенство Йенсена означает это соотношение для точек графика и хорды, абсциссы которых равны .
- Допустим, что неравенство верно для какого-либо натурального числа , докажем, что оно верно и для , то есть
- .
С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых одним слагаемым
- ;
это даст возможность воспользоваться неравенством для и установить, что выражение выше не превосходит суммы
- .
Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для . Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано.
Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.
Геометрическая интерпретация
правитьТочка является выпуклой комбинацией точек плоскости, лежащих на графике функции . Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции , а это и означает, что .
Интегральная формулировка
правитьПусть — выпуклая функция, — вероятностная мера, а функции и интегрируемы. Тогда[1]
Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид
Вероятностная формулировка
правитьПусть — вероятностное пространство, и — определённая на нём случайная величина. Пусть также — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если , то
- ,
где означает математическое ожидание.
Неравенство Йенсена для условного математического ожидания
правитьПусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, — под-σ-алгебра событий. Тогда
- ,
где обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры .
Частные случаи
править- Пусть — положительные числа, , причём . Тогда
- .
- Пусть (вогнутая функция). Имеем:
- , или . Потенцируя, получаем неравенство .
В частности, при получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)
- .
Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим
править- Пусть (выпуклая функция). Имеем:
- . Положив и потенцируя, получаем:
- (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)
Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим
править- Пусть (выпуклая функция). Имеем:
В частности при получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Durrett R.. Probability: Theory and Examples (англ.). — 5th ed.. — Cambridge University Press, 2019. — P. 25. — doi:10.1017/9781108591034.
Литература
править- Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
- Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.
В статье есть список источников, но не хватает сносок. |