Полуинвариант (теория вероятностей)
Полуинварианты, или семиинварианты, или кумулянты — коэффициенты в разложении логарифма характеристической функции случайной величины в ряд Маклорена[1].
Определение
[править | править код]Через характеристическую функцию
[править | править код]Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. |
Полуинварианты, в отличие от моментов, не могут быть определены напрямую через функцию распределения . Их определяют либо через логарифм характеристической функции , либо через моменты (второе определение вытекает из первого). Формально, полуинварианты определяются как коэффициенты в разложении в ряд Маклорена логарифма характеристической функции аналогично тому, как определяются моменты для самой характеристической функции:
- .
Единственное отличие состоит в том, что первый член этого ряда полагается равным , а не как в случае моментов. Поэтому логарифм характеристической функции является производящей функцией для полуинвариантов, его иногда называют второй характеристической функцией и обозначают:
- .
Интерес к этой функции обусловлен тем, что она аддитивна для независимых случайных величин, то есть для суммы таких величин она равна сумме соответствующих функций для каждой величины:
- .
Это с очевидностью следует из того факта, что характеристическая мультипликативная функция по независимым случайным величинам (равна произведению соответствующих функций). Это же свойство, как следствие, присуще полуинвариантам: в частности, поскольку первым и вторым полуинвариантом случайной величины служат её математическое ожидание и дисперсия, то для суммы независимых случайных величин они соответственно равны сумме математических ожиданий или дисперсий самих величин (это верно и для третьего центрального момента, который поэтому совпадает с третьим полуинвариантом. Для четвёртых и более высоких центрированных моментов это равенство уже не выполняется). Указанное свойство упрощает работу с кумулянтами, так как для них, в отличие от моментов распределения суммы независимых случайных величин, имеющих достаточно громоздкое выражение через моменты самих величин, выражение через полуинварианты слагаемых весьма просто.
Из определения ряда Маклорена полуинвариант порядка определяется как:
- .
В частности, для первого полуинварианта имеем:
- .
Через моменты
[править | править код]Выведем теперь альтернативное определение полуинварианта через моменты. Разлагая характеристическую функцию в ряд Маклорена через моменты, можно переписать первую формулу в следующем виде:
- .
Разлагая и логарифм в ряд Маклорена и предполагая, что условия на его радиус сходимости выполняются, мы получим:
- .
Приравнивая коэффициенты при равных степенях в суммах слева и справа, получаем:
- .
Интересный метод, основанный на производной для более простого отыскания этих взаимоотношений, а также эти выражения для более высоких порядков описаны у Кендалла. Он также даёт общую формулу для поиска моментов через полуинварианты и обратно, эта же формула встречается и у Ширяева. Кстати, эту общую формулу в некоторой литературе так и называют формулой Ширяева-Леонтьева, хотя по всей видимости они не были первыми, кто её вывел.
История
[править | править код]Полуинварианты были введены датским астрономом и математиком Торвальдом Николаем Тиле в 1889 году (по другим данным в 1903 году). В русском языке также используется название семиинварианты (от латинского semi-, что означает полу-, половина). Тиле назвал эти статистические величины полуинвариантами (semi-invariant), и до 1930-х годов их так и называли, пока английский статистик Фишер не предложил название кумулянты (англ. cumulants), ввиду их кумулятивных свойств, и со временем именно это название и закрепилось в литературе. Тем не менее, в русскоязычной литературе предпочтение всегда отдавалось оригинальному названию, например Ширяев использует только лишь оригинальное латинское название. Для обозначения полуинвариант почти всегда используется греческая буква , хотя, например, Ширяев использует .
Несмотря на то, что введены полуинварианты были давно, им уделяли очень мало внимания: только лишь в конце 1930-х годов Фишер впервые провёл систематическое исследование полуинвариантов.
На сегодняшний день полуинварианты прочно вошли в мир современной статистики и её приложений. В частности они очень широко используются в области обработки сигналов, что связано с некоторыми их полезными свойствами: например, все полуинварианты третьего и более высоких порядков равны нулю для нормальных процессов, а смешанные полуинварианты всех порядков статистически независимых величин равны нулю. Используя понятие полуинвариантов, можно ввести более общее понятие статистической независимости двух величин до -го порядка, подразумевая под этим то, что все смешанные полуинварианты порядка до (включительно) равны нулю.
Примечания
[править | править код]- ↑ Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. - 496 стр.
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |