Список квадратурных формул
В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования.
Обозначения
[править | править код]В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:
- ,
- — интегрируемая функция;
- — веса интегрирования;
- — система координат мастер-элемента;
- — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.
В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.
В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные , для обозначения координат мастер-элемента — .
Одномерный интеграл
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Numerical_integration_sector_gauss-3.png/220px-Numerical_integration_sector_gauss-3.png)
Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.
- Область интегрирования: отрезок ;
- Мастер-элемент: отрезок ;
- Переход на мастер-элемент: ;
- Переход с мастер-элемента: ;
- Якобиан: .
Номер | Число точек | Порядок интегрирования | Дополнительно | ||
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Метод прямоугольников | ||
2 | 2 | 1 | Метод трапеций | ||
3 | 2 | 3 | Метод Гаусса-2 | ||
4 | 3 | 3 | Метод Симпсона | ||
5 | 3 | 5 | Метод Гаусса-3 | ||
6 | 4 | 7 | Метод Гаусса-4 | ||
7 | 5 | 9 | Метод Гаусса-5 | ||
Двухмерный интеграл
[править | править код]Квадратный мастер-элемент
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Numerical_integration_rectangle_12_points.png/220px-Numerical_integration_rectangle_12_points.png)
- Область интегрирования: прямоугольник
- Мастер-элемент: квадрат
- Переход на мастер-элемент:
- ;
- Переход с мастер-элемента:
- ;
- Якобиан: .
Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёхугольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.
Номер | Число точек | Порядок интегрирования | Дополнительно | |||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Метод прямоугольников (метод среднего) | |||
2 | 4 | 1 | Метод трапеций | |||
3 | 4 | 3 | Метод Гаусса-2 | |||
4 | 12 | 7 | Число узлов минимально[1]. | |||
Треугольный мастер-элемент
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Numerical_integration_triangle_4_points.png/220px-Numerical_integration_triangle_4_points.png)
- Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами ;
- Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами .
Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их .
Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица :
Матрица коэффициентов обратна к : .
- Переход на мастер элемент:
- Переход с мастер элемента:
- Якобиан : .
Номер | Число точек | Порядок интегрирования | Дополнительно | |||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Метод среднего | |||
2 | 3 | 2 | - | |||
2 | 3 | 2 | Метод Гаусса-3 | |||
4 | 4 | 3 | Метод Гаусса-4 | |||
5 | 7 | 3 | Метод Ньютона-Котеса (англ. Newton-Cotes (англ.)) | |||
Трёхмерный интеграл
[править | править код]Кубический мастер-элемент
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Numerical_integration_brick_14_points.png/220px-Numerical_integration_brick_14_points.png)
- Область интегрирования: параллелепипед
- Мастер-элемент: куб
- Переход на мастер-элемент:
- Переход с мастер-элемента:
- ;
- ;
- Якобиан: .
Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника[уточнить], но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.
Номер | Число точек | Порядок интегрирования | Дополнительно | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Метод прямоугольников (метод среднего) | ||||
2 | 8 | 3 | Метод Гаусса-2 | ||||
3 | 14 | 5 | Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.[2] | ||||
Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.
- Порядок: 7, число точек: 34
Номер точки | Дополнительно | ||||
---|---|---|---|---|---|
1 | , , , , , , | ||||
2 | |||||
3 | |||||
4 | |||||
5 | |||||
6 | |||||
7 | |||||
8 | |||||
9 | |||||
10 | |||||
11 | |||||
12 | |||||
13 | |||||
14 | |||||
15 | |||||
16 | |||||
17 | |||||
18 | |||||
19 | |||||
20 | |||||
21 | |||||
22 | |||||
23 | |||||
24 | |||||
25 | |||||
26 | |||||
27 | |||||
28 | |||||
29 | |||||
30 | |||||
31 | |||||
32 | |||||
33 | |||||
34 |
Тетраэдральный мастер-элемент
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Numerical_integration_tetrahedron_11_points.png/220px-Numerical_integration_tetrahedron_11_points.png)
- Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами .
- Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами .
Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их :
Матрица коэффициентов определяется, как: , где
- Переход на мастер-элемент:
- Переход с мастер-элемента:
- Якобиан : .
Номер | Число точек | Порядок интегрирования | Дополнительно | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Метод среднего | ||||
2 | 4 | 2 | Метод Гаусса-4 | ||||
3 | 5 | 3 | |||||
4 | 11 | 4 | Метод Гаусса-11 | ||||
5 | 14 | 5 | определяются из следующих уравнений:
| ||||
Примечания
[править | править код]- ↑ Мысовских, 1981, с. 285.
- ↑ Мысовских, 1981, с. 280.
Литература
[править | править код]- Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.
Ссылки
[править | править код]- Numerical Integration over the Triangular Domain (англ.). — Интегрирование по треугольному элементу. Дата обращения: 12 июня 2014. Архивировано из оригинала 14 июля 2014 года.
- Numerical Integration over the Tetrahedral Domain (англ.). — Интегрирование по тетраэдальному элементу. Дата обращения: 12 июня 2014. Архивировано из оригинала 14 июля 2014 года.