Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.
Пусть
- непрерывная функция
и
. Для того, чтобы функция
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой функцией, то есть при каждом целом
для любых вещественных чисел
и любых комплексных чисел
выполняется неравенство
[1].
Здесь
означает комплексно сопряжённое к
число.
Пусть
- стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией
[2].
- Если
- скалярный процесс с дискретным временем, то:
где
- неотрицательная неубывающая функция, определяемая по
однозначно, если потребовать, чтобы
и
была непрерывной справа,
- действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации,
- действительная нечетная функция ограниченной вариации.
- Если
- векторный процесс с дискретным временем, то для
имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где
- матрица, приращения которой
эрмитовы и неотрицательно определены,
- вещественная симметричная матрица, приращения которой
неотрицательно определены,
- вещественная кососимметрическая матрица. Матрица
определяется однозначно по
, если потребовать, чтобы
(нулевая матрица) и
была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).
- Если
- скалярный процесс с непрерывным временем, то:
где функции
определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия
.
- Если
- векторный процесс с непрерывным временем, то для
имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы
определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия
(нулевая матрица).
- ↑ Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65
- ↑ Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 245-246