Теорема Пика (комплексный анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.

Формулировка

[править | править код]

Пусть  — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

Тогда для любых точек и круга расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:

.

Более того, равенство достигается только в том случае, когда есть дробно-линейная функция, отображающая круг на себя.

Поскольку

условие

эквивалентно следующему неравенству:

Если и бесконечно близки, оно превращается в

Литература

[править | править код]
  • Рick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
  • Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.