Топологическая энтропия
Топологическая энтропия — в теории динамических систем неотрицательное вещественное число, которое является мерой сложности системы.
Определение
[править | править код]Пусть задано непрерывное отображение T метрического компакта (X,d) в себя. Тогда метрика на X определяется как
иными словами, это максимальное расстояние, на которое орбиты x и y расходятся за n итераций. Далее, для заданного говорят, что множество — -отделённое, если попарные -расстояния между его точками не меньше , и мощность наибольшего такого множества обозначается через . Тогда топологической энтропией отображения T называется двойной предел
Эта же величина может быть определёна иначе: если обозначить через мощность наименьшей -сети, то
Эквивалентность этих определений легко выводится из неравенств И то, и другое определение формализуют следующее нестрогое понятие: для неизвестной начальной точки, какое количество информации нужно получить в расчёте на одну итерацию, чтобы предсказать большое количество итераций с небольшой фиксированной ошибкой.
Литература
[править | править код]- Adler, R.L.; Konheim, Allan G.; McAndrew, M.H. Topological entropy (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1965. — Vol. 114. — P. 309—319.
- Dmitri Anosov (2001), «T/t093040», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Walters, Peter. An introduction to ergodic theory (неопр.). — Springer-Verlag, 1982. — Т. 79. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95152-0.