Треугольная квантовая яма
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Triangular_well.jpg/220px-Triangular_well.jpg)
Треуго́льная ква́нтовая я́ма — одномерная потенциальная яма, ограниченная с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой, а с другой — потенциалом, линейно растущим с увеличением координаты. Один из простых профилей потенциала в квантовой механике, допускающих точное решение задачи о нахождении уровней энергии и волновых функций находящейся в яме частицы. Модель треугольной ямы используется, в частности, при исследованиях систем с двумерным электронным газом.
Модель потенциальной ямы
[править | править код]Одномерная треугольная потенциальная яма ограничена с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой ( при ), а с другой — линейно растущим наклонным потенциалом при (см. рис.1)[1]. Такой вид потенциальной энергии соответствует однородному полю, действующему на частицу с силой , не зависящей от координаты[2]. Примерами таких полей являются однородное электрическое поле ( — заряд частицы, — напряженность электрического поля)[3] и гравитационное поле тяжести ( — масса частицы, —ускорение свободного падения)[4].
Решение уравнения Шрёдингера
[править | править код]Уравнения Шрёдингера и граничные условия
[править | править код]Уравнение Шрёдингера для частицы в однородном поле имеет вид[1][4][5]:
Граничные условия описывают абсолютно упругое отражение от потенциальной стенки при [4] и убывание решения в классически недоступной области при [1]:
Здесь — масса частицы, — редуцированная постоянная Планка, и — искомые энергия и волновая функция частицы.
Замена переменной
[править | править код]Для упрощения дальнейшего рассмотрения вводится безразмерная переменная[2]
где . При использовании новой переменной задача сводится к решению уравнения Эйри
с граничными условиями
Общее решение уравнения Шрёдингера
[править | править код]Общее решение уравнения Эйри имеет вид[6]:
где и — функции Эйри 1-го и 2-го рода имеют при больших следующие асимптотики[7]
При отрицательных значениях функции Эйри осциллируют и имеют бесконечное число нулей. Из граничного условия на бесконечности и экспоненциального роста следует, что константа , то есть решение задачи следует искать в виде[4]
Дискретные уровни энергии
[править | править код]Собственные значения энергии частицы () в треугольной яме определяются из условия обращения в нуль волновой функции на границе бесконечной потенциальной стенки[4]:
где — нули функции Эйри. В результате находим дискретный спектр энергий[1],
а соответствующая дискретному уровню волновая функция имеет вид:
Для первых пяти нулей значения приближённо равны: , , , , [4]. При больших нули функций Эйри определяются выражением[8]:
Нормировка волновой функции
[править | править код]Значения констант находятся из условия нормировки[9]
Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции, которая вещественна[10],
находим нормировочные константы, которые зависят от номера квантового уровня:
где — производная функции Эйри.
Функции ортогональны. В этом можно убедиться, вычислив интеграл от произведения волновых функций, принадлежащих разным квантовым состояниям [11]:
Ширина потенциальной ямы
[править | править код]Для рассматриваемой ямы волновые функции экспоненциально убывают при и отличны от нуля при сколь угодно больших расстояниях . Ширина классически доступной () области находится из условия
и составляет[4]
Значения схематически показаны на рисунке 1.
Применение результатов
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Straddling_gap_heterojunction_band_diagram.svg/220px-Straddling_gap_heterojunction_band_diagram.svg.png)
Задача об энергетическом спектре магнитных поверхностных уровней электронов приближённо сводится к модели треугольной потенциальной ямы. На малых расстояниях от поверхности проводника и в слабом магнитном поле в уравнении Шрёдингера можно пренебречь слагаемыми, квадратичными по векторному потенциалу, и эффективный потенциал ямы линейно зависит от расстояния от поверхности, которая описывается бесконечной стенкой[12].
Модель треугольной ямы используется при исследованиях двумерного электронного газа в инверсных слоях у границ раздела диэлектрик—полупроводник и границ двух разных полупроводников. Хотя в таких системах профиль зоны проводимости в полупроводнике сложнее, чем линейный, а разрыв зоны проводимости на гетерогранице не является бесконечным (см. рис.2), непосредственно вблизи этой границы яма приближённо считается треугольной, а разрыв зоны достаточно большим[13].
См. также
[править | править код]- Квантовое движение в электрическом поле
- Прямоугольная квантовая яма
- Осцилляции Зенера — Блоха
- Квантовый осциллятор
- Магнитные поверхностные уровни
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 4 Галицкий В. М. Задачи по квантовой механике: Учебное пособие для вузов. — 3-е издание, исправленное и дополненное. — М.,: Едиториал УРСС, 2001. — С. 33. — 304 с. — ISBN 5-354-00002-5.
- ↑ 1 2 Ландау, Лифшиц, 1989, Глава III. Параграф 25. Движение в однородном поле..
- ↑ Неверов В. Н., Титов А. Н. Часть 1. Глава 1. 1.4. Типы низкоразмерных систем. // Физика низкоразмерных систем. — Екатеринбург: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А. М. Горького», 2008. — С. 17. — 232 с.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 З. Флюгге. Задача 40. Свободное падение вблизи земной поверхности // Задачи по квантовой механике / под ред. А. А. Соколова. — Москва: Мир, 1974. — Т. 1. — С. 100. — 340 с. Архивировано 4 мая 2021 года.
- ↑ Ландау, Лифшиц, 1989, Глава III. Параграф 25. Движение в однородном поле, с. 100.
- ↑ Airy Differential Equation (англ.). Wolfram MathWord. Wolfram. Дата обращения: 12 марта 2023. Архивировано 12 марта 2023 года.
- ↑ Vallee, Soares, 2004, Part 2.1.4.3. Asymptotic series of Ai and Bi.
- ↑ Справочник по специальным функциям с формулами графиками и математическими таблицамиАрхивировано 2 сентября 2024 года. / Под редакцией М. Абрамовица и И. Стиган. — М.,: Наука, 1979. — С. 268. — 872 с.
- ↑ Ландау, Лифшиц, 1989, Глава 1. Основные понятия квантовой механики..
- ↑ Vallee, Soares, 2004, Part 8. Applications to Quantum Physics.
- ↑ Vallee, Soares, 2004, Part 3. Primitives and Integrals of Airy Functions.
- ↑ Prange R. E. Three Geometrical Modifications of the Surface-Impedance Experiment in Low Magnetic Fields (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 171, no. 3. — P. 737—742. — doi:10.1103/PhysRev.171.737.
- ↑ Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 416 с.
Литература
[править | править код]- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория . — Москва: Наука, 1989. — С. 112. — 768 с. — ISBN 5-02-014421-5.
- Olivier Vallee, Manuel Soares. Airy functions and applications to physics (англ.). — London: Imperial College Press, 2004. — 194 p. — ISBN 1-86094-478-7.
Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии. |