Циклический подкласс
Цикли́ческие подкла́ссы — подмножества неразложимого периодического класса цепи Маркова такие, что цепь проходит их один за другим по порядку.
Теорема
[править | править код]Пусть дана цепь Маркова с дискретным временем, дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей . Пусть — неразложимый класс состояний с периодом . Тогда существует разбиение множества : , то есть
такое, что
- .
Замечание
[править | править код]Таким образом внутри любого неразложимого периодического класса цепь Маркова описывает путь:
- ,
где — индекс начального подмножества.
Определение
[править | править код]Построенные таким образом подмножества называются цикли́ческими подкла́ссами.
Цепь внутри циклического подкласса
[править | править код]Очевидно имеем:
- ,
то есть через каждые шагов цепь возвращается в тот же циклический подкласс. Тогда для любого фиксированного можно построить новую цепь Маркова со множеством состояний и матрицей переходных вероятностей . Эта цепь будет неразложимой и апериодичной. Таким образом изучение многих вопросов поведения цепи Маркова сводится к случаю апериодической неразложимой цепи.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|