Riemannova guľa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Stereographic_projection_in_3D.png/220px-Stereographic_projection_in_3D.png)
Riemannova guľa alebo Riemannova sféra, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu
- .
Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:
- Komplexná projektívna priamka, označovaná alebo
- Rozšírená komplexná rovina, prípadne rozšírená Gaussova rovina, označovaná alebo .
Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako rozšírené komplexné čísla. Avšak aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.
Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.
V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu - predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.
Komplexná varieta
[upraviť | upraviť zdroj]Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, ktorej atlas pozostáva z dvoch komplexných súradníc , kde
- je definovaná ako
a
- je definovaná ako pre a 0 pre .
Takáto definícia intuitívne zodpovedá zlepeniu dvoch rovín, ktoré pokrývajú takmer celú guľu, až na jeden bod (ktorý je pre jednu rovinu 0 a pre druhú ). Počiatok -súradnice hrá v tomto prípade úlohu nekonečna pre -súradnicu a naopak.
Stereografická projekcia
[upraviť | upraviť zdroj]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Riemannova_koule.png/220px-Riemannova_koule.png)
Riemannova guľa môže byť interpretovaná nasledujúcim spôsobom: ide o guľu, ktorá sa južným pólom dotýka počiatku Gaussovej roviny. Ktorémukoľvek bodu z Gaussovej roviny možno priradiť bod na Riemannovej gule preložením priamky medzi bodom z a severným pólom gule. Bod, v ktorom sa táto priamka pretne s povrchom Riemannovej gule je bod Riemannovej gule odpovedajúci bodu z. Severný pól Riemannovej gule odpovedá nekonečnu, čo je v súlade s prirodzenou geometrickou predstavou.[1][2]
Referencie
[upraviť | upraviť zdroj]- ↑ J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-08-20]. ISBN 80-8078-091-9.
- ↑ DOVCOVÁ, Katarína. Neeuklidovská geometria [online]. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2008, [cit. 2008-08-20]. Dostupné online.
Pozri aj
[upraviť | upraviť zdroj]Iné projekty
[upraviť | upraviť zdroj]Commons ponúka multimediálne súbory na tému Riemannova guľa
Externé odkazy
[upraviť | upraviť zdroj]- Riemannova guľa Archivované 2010-06-20 na Wayback Machine - PlanetMath (po anglicky)
- Riemannova guľa - Wolfram MathWorld (po anglicky)
Zdroje
[upraviť | upraviť zdroj]- Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článkov Riemann sphere na anglickej Wikipédii a Riemannova koule na českej Wikipédii.