Поліноми Лежандра: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [очікує на перевірку] |
Вилучено вміст Додано вміст
→Література: додав Фіхтенгольц.укр |
|||
| (Не показані 27 проміжних версій 18 користувачів) | |||
Рядок 4:
формула=<math>P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]</math>|
дифрівняння=<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0</math>|
інтервал=<math>\ [-1,+1]</math>|
вага=1|
норма=<math>{2 \over {2n + 1}}</math>|
Рядок 11:
}}
'''Поліноми Лежандра'''
Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів <math>1, x, x^2, x^3, \ldots</math> за допомогою [[Процес Грама — Шмідта|ортогоналізації Грама-Шмідта]].
Рядок 24:
: <math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.</math>
[[
[[Генератриса]] для многочленів Лежандра дорівнює
Рядок 46:
де <math>\delta_{mn}</math> — [[Символ Кронекера|дельта-символ Кронекера]].
== Приєднані функції Лежандра ==
==Застосування == ▼
Полімоми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута <math>\cos \theta </math>, який змінюється від -1 при <math> \theta = \pi </math> до 1 при <math> \theta = 0 </math>. ▼
'''Приєднані функції Лежандра''' визначаються за формулою:
Зокремма для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів: ▼
: <math>P^m_n(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x),</math>
:<math> \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} = \frac{1}{\sqrt{r^2 - 2rr_0 \cos\theta + r_0^2 }} = \frac{1}{r_0} \frac{1}{\sqrt{1 - 2x \cos\theta + x^2 }} = \frac{1}{r_0} \sum_n P_n(\cos\theta) x^n</math>, ▼
яку можна також представити у вигляді:
: <math>P^m_n(\cos\theta)=\sin^m\theta\frac{d^m}{d(\cos\theta)^m} P_n(\cos\theta).</math>
При <math>m=0</math> функція <math>P^m_n</math> збігається з <math>P_n</math>.
Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.
де <math> x = r/r_0 </math>, а <math> \cos \theta </math> - кут між векторами <math> \mathbf{r} </math> та <math> \mathbf{r}_0 </math>. ▼
Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:
Інше важливе застосування - розклад полів на [[парціальні хвилі]]. Наприклад, поска хвиля розкладається за допомогою формули ▼
:<math> e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} = \sum_{l=0}^\infty i^l j_l(kr) P_l(\cos \theta) </math>▼
: <math>(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left(n[n+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,</math>
або еквівалентного йому:
: <math>([1-x^2]\,y')' + \left(n[n+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,</math>
{{Ортогональні поліноми (список)}}▼
▲
▲: <math> \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} = \frac{1}{\sqrt{r^2 - 2rr_0 \cos\theta + r_0^2 }} = \frac{1}{r_0} \frac{1}{\sqrt{1 - 2x \cos\theta + x^2 }} = \frac{1}{r_0} \sum_n P_n(\cos\theta) x^n</math>,
▲де <math> x = r/r_0 </math>, а <math> \cos \theta </math>
▲Інше важливе застосування
▲: <math> e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} = \sum_{l=0}^\infty(2l+1) i^l j_l(kr) P_l(\cos \theta) </math>
де <math> j_l(x) </math> — [[сферичні функції Бесселя]].
== Див. також ==
* [[Сферичні гармоніки]]
== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
{{Без джерел|дата=жовтень 2015}}
▲{{Ортогональні поліноми (список)}}
[[Категорія:Ортогональні поліноми]]
| |||