Поліноми Лежандра: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [очікує на перевірку] |
Вилучено вміст Додано вміст
Xqbot (обговорення | внесок) м робот змінив: ru:Многочлены Лежандра; косметичні зміни |
→Література: додав Фіхтенгольц.укр |
||
| (Не показані 14 проміжних версій 12 користувачів) | |||
Рядок 11:
}}
'''Поліноми Лежандра'''
Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів <math>1, x, x^2, x^3, \ldots</math> за допомогою [[Процес Грама — Шмідта|ортогоналізації Грама-Шмідта]].
Рядок 45:
: <math>\int\limits_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)dx = {2\over{2n+1}}\delta_{mn}.</math>
де <math>\delta_{mn}</math> — [[Символ Кронекера|дельта-символ Кронекера]].
'''Приєднані функції Лежандра''' визначаються за формулою:
: <math>P^m_n(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x),</math>
яку можна також представити у вигляді:
: <math>P^m_n(\cos\theta)=\sin^m\theta\frac{d^m}{d(\cos\theta)^m} P_n(\cos\theta).</math>
При <math>m=0</math> функція <math>P^m_n</math> збігається з <math>P_n</math>.
Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.
Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:
: <math>(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left(n[n+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,</math>
або еквівалентного йому:
: <math>([1-x^2]\,y')' + \left(n[n+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,</math>
== Застосування ==
Зокрема для отримання мультипольного розкладу [[електричне поле|електростатичних полів]]:
: <math> \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} = \frac{1}{\sqrt{r^2 - 2rr_0 \cos\theta + r_0^2 }} = \frac{1}{r_0} \frac{1}{\sqrt{1 - 2x \cos\theta + x^2 }} = \frac{1}{r_0} \sum_n P_n(\cos\theta) x^n</math>,
де <math> x = r/r_0 </math>, а <math> \cos \theta </math>
Інше важливе застосування
: <math> e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} = \sum_{l=0}^\infty(2l+1) i^l j_l(kr) P_l(\cos \theta) </math>
де <math> j_l(x) </math>
==
* [[Сферичні гармоніки]]▼
▲*[[Приєднані поліноми Лежандра]]
▲*[[Сферичні гармоніки]]
== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
{{Без джерел|дата=жовтень 2015}}
{{Ортогональні поліноми (список)}}
[[Категорія:Ортогональні поліноми]]
| |||