Періодична точка

точка, до якої система повертається після певної кількості ітерацій функції або певного часу

У математиці, в галузі ітерованих функцій і динамічних систем, періодична точка функції — це точка, до якої система повертається після певної кількості ітерацій функції або певного часу.

Ітеровані функції

ред.

Дано відображення f із множини X у себе,

 

Точка x в X називається періодичною, якщо існує n таке, що

 

де   є n-ою ітерацією f. Найменше натуральне число n, яке задовольняє вищезазначеному, називають простим періодом або найменшим періодом точки x. Якщо кожна точка в X є періодичною точкою з тим самим періодом n, то f називають періодичною з періодом n (не слід плутати з поняттям періодичної функції).

Якщо існують різні n і m такі, що

 

то x називають доперіодичною точкою. Усі періодичні точки є доперіодичними.

Якщо f є дифеоморфізмом диференційовного многовиду, так що похідна   визначена, то кажуть, що періодична точка є гіперболічною, якщо

 

яка є точкою притягання, якщо

 

і точкою відштовхування, якщо

 

Якщо розмірність стійкого многовиду[en] періодичної точки або нерухомої точки дорівнює нулю, цю точку називають джерелом; якщо розмірність її нестійкого многовиду дорівнює нулю, її називають стоком; і якщо і стабільний, і нестабільний многовиди мають ненульову розмірність, її називають сідлом або сідловою точкою.

Приклади

ред.

Точку періоду один називають нерухомою точкою.

Логістичне відображення проявляє періодичність для різних значень параметра r. Для r між 0 і 1, 0 є єдиною періодичною точкою з періодом 1 (задає послідовність 0, 0, 0, …, яка притягує всі орбіти). Для r між 1 і 3 значення 0 все ще є періодичним, але не притягує, тоді як значення (r − 1) / r — періодична точка притягання періоду 1. Якщо r більше 3, але менше 1 + 6, існує пара точок періоду 2, які разом утворюють притягальну послідовність, а також точки періоду 1 без притягання 0 і (r − 1) / r. Коли значення параметра r зростає до 4, виникають групи періодичних точок з періодом, рівним будь-якому додатному числу; для деяких значень r одна з цих повторюваних послідовностей притягальна, тоді як для інших жодна з них не притягальна (майже всі орбіти є хаотичними).

Динамічна система

ред.

У реальній глобальній динамічній системі (R, X, Φ) з фазовим простором X і функцією еволюції Φ,

 

точку x в X називають періодичною з періодом T, якщо

 .

Найменше додатне T з цією властивістю називають простим періодом точки x.

Властивості

ред.
  • Якщо дано періодичну точку x з періодом T, то   для всіх t в R.
  • Якщо дано періодичну точку x, то всі точки на орбіті[en]  , що проходить через x, є періодичними з однаковим простим періодом.

Див. також

ред.

Джерела

ред.