Теорема Рімана про відображення
Теорема Рімана про відображення — теорема у комплексному аналізі, що стверджує, що для довільної однозв'язної відкритої підмножини комплексної площини , що не збігається з усією , існує бієктивне голоморфне відображення із множини на відкритий одиничний круг
де
Зауваження
ред.Голоморфна функція, що є взаємно-однозначною (тобто оборотною), є конформним відображенням, так що теорему можна формулювати в термінах конформної еквівалентності. Також, не має значення, стверджувати про існування функції або оберненої . Можна навіть вимагати існування відображення з будь-якої однозв'язної області в будь-яку іншу однозв'язну — твердження теореми від цього не стане сильнішим.
Дана теорема здається парадоксальною, оскільки умови на область є чисто топологічними і ніяк не обумовлюють геометрію її межі. Насправді, порівняно легко будуються конформні відображення круга не тільки на многокутники і подібні фігури, але і області на зразок круга з одним вирізаним радіусом і т. д. Можна навіть побудувати функцію на кругу, образ якої має ніде не гладку межу. Втім, Ріман зумів довести теорему лише в припущенні кускової гладкості межі.
Єдиність відображення
ред.Оскільки одиничний круг легко нетотожно конформно відобразити на себе, то шукане конформне відображення єдиним бути не може. Проте, легко бачити, що вся неоднозначність в побудові відображення відноситься до автоморфізмів одиничного круга, які утворюють дійсну 3-мірну групу Лі. Зокрема, якщо — елемент множини і φ — довільний кут, тоді існує єдине відображення із теореми Рімана, яке додатково задовольняє умовам відображає в і аргумент похідної в точці рівний куту φ.
Доведення
ред.Доведемо, що в існує хоча б одна голоморфна і ін'єктивна функція, що по модулю є меншою 1. За умовою межа містить дві різні точки Квадратний корінь має аналітичне продовження вздовж будь-якого шляху в області і оскільки ця область є однозв'язною, то за теоремою про монодромію[en] цей корінь допускає виділення в двох однозначних гілок і що відрізняються знаком.
Кожна з цих гілок є ін'єктивною в , бо з рівності випливає рівність
а з неї, зважаючи на ін'єктивність дробово-лінійної функції, рівність . Ці гілки відображають відповідно на області і , які не мають спільних точок, бо в іншому випадку знайшлися б точки такі, що , але з останнього рівності знову випливає рівність , а тому що неможливо оскільки для всіх
Область містить деякий круг а тому в не набуває значень з цього кола. Тому функція
очевидно є голоморфною і ін'єктивною і обмеженою в :
Позначимо як сім'ю всіх голоморфних і ін'єктивних в функцій, по модулю всюди менших 1. Ця
сім'я є непустою, бо містить функцію і по теоремі Монтеля вона є нормальною. Оскільки є ін'єктивною в , то у довільній точці Підсім'я сім'ї , до якої належать усі функції з для яких
в деякій фіксованій точці є нормальною. Також якщо послідовність функцій збігається рівномірно на компактних підмножинах то границя цієї послідовності належить .
Дійсно з наслідку теореми Гурвіца границя послідовності функцій , що сходиться рівномірно на будь-якій компактній підмножині , може бути лише ін'єктивною функцією або константою але останній випадок виключений нерівністю . Також якщо для елементів цієї послідовності, то і для граничної функції Отож також і
Розглянемо на функціонал Він є неперервним адже для рівномірно збіжної на компактах послідовності із границею , послідовність похідних теж рівномірно на компактах збігається до зокрема
Оскільки є компактною (у просторі голоморфних функцій із компактно-відкритою топологією) множиною то існує функція на якій цей функціонал досягає максимуму, тобто така, що для всіх виконується нерівність
Оскільки функція то вона конформно відображає в одиничний круг . Також оскільки в іншому випадку в була б функція
для котрої
що суперечить означенню функції .
Функція відображає на весь круг . Справді, нехай не приймає в деякого значення . Оскільки , то . Але і значення не приймається цією функцією в (оскільки ), і, отже, по теоремі про монодромію в можна виділити однозначну гілку кореня
яка належить . Але тоді належить і функція
для котрої
Але бо , тобто і що суперечить означенню функції .
Узагальнення
ред.Якщо замість області на комплексній площині розглядати область на довільній ріманової поверхні, то ми приходимо до часткового випадку теореми про уніформізацію:
- для довільної однозв'язної відкритої підмножини ріманової поверхні існує бієктивне голоморфне відображення ( із множини на одну з множин:
- ріманову сферу;
- комплексну площину;
- одиничний круг.
Спроби узагальнити дану теорему на дійсну конформну геометрію в розмірностях вище 2, як і на комплексну геометрію в розмірностях вище 1, використовуючи поняття голоморфного відображення, до особливих успіхів не привели. Доведено, що і в тому і іншому випадку для еквівалентності областей вже недостатньо чисто топологічних умов. У будь-якому випадку, такі загальні твердження про еквівалентність областей в багатовимірних просторах науці не відомі.
Див. також
ред.Література
ред.- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
- John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
- John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
- Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
Посилання
ред.- Доведення теореми Рімана [Архівовано 20 червня 2010 у Wayback Machine.], на сайті PlanetMath