Теорема Монтеля: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Створена сторінка: В комплексному аналізі '''теорема Монтеля''' — важливе твердження... |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
(Не показано 3 проміжні версії 2 користувачів) | |||
Рядок 2: | Рядок 2: | ||
== Твердження теореми == |
== Твердження теореми == |
||
Нехай <math>\mathcal{F}</math> — сім'я голоморфних функцій на [[Відкрита множина|відкритій підмножині]] <math>U \subseteq \ |
Нехай <math>\mathcal{F}</math> — сім'я голоморфних функцій на [[Відкрита множина|відкритій підмножині]] <math>U \subseteq \Complex</math>. Якщо всі ці функції є обмежені на [[Компактний простір|компактах]], тобто для кожної компактної підмножини <math>K \subseteq U </math> існує [[дійсне число]] <math>M = M_K</math>, таке що для всіх <math>z \in K</math> і всіх <math>f_\alpha \in \mathcal{F}</math> справедливою є нерівність <math>|f_\alpha (z)| \leqslant M.</math> |
||
Тоді сім'я функцій <math>\mathcal{F}</math> є нормальною тобто з кожної послідовності функцій <math>f_j \in \mathcal{F}</math> модна вибрати підпослідовність [[Рівномірна збіжність|рівномірно збіжну]] на всіх компактних підмножинах в <math>U.</math> |
Тоді сім'я функцій <math>\mathcal{F}</math> є нормальною тобто з кожної послідовності функцій <math>f_j \in \mathcal{F}</math> модна вибрати підпослідовність [[Рівномірна збіжність|рівномірно збіжну]] на всіх компактних підмножинах в <math>U.</math> |
||
Справедливим також є багатовимірний аналог теореми, де <math>U \subseteq \Complex^n</math>. |
|||
== Порівняння з випадком дійсних функцій == |
|||
Твердження теореми є специфічним для випадку голоморфних функцій комплексної змінної. Їх аналоги для функцій дійсних змінних не є справедливими. Наприклад послідовність аналітичних функцій <math>\{ \sin kx \}_{k=1}^\infty</math> є обмеженою на проміжку <math>[0, 2\pi]</math> проте для цієї послідовності немає навіть [[Поточкова збіжність|поточково збіжної]] підпослідовності. |
|||
== Доведення == |
== Доведення == |
||
Рядок 26: | Рядок 31: | ||
Тепер можна визначити послідовність <math>g_i = f_{ii} </math>. Вона є підпослідовністю <math>f_j</math> і рівномірно збігається на всіх підмножинах <math>K_i </math>, а тому і на всіх компактних підмножинах в <math>U.</math> Це й завершує доведення теореми. |
Тепер можна визначити послідовність <math>g_i = f_{ii} </math>. Вона є підпослідовністю <math>f_j</math> і рівномірно збігається на всіх підмножинах <math>K_i </math>, а тому і на всіх компактних підмножинах в <math>U.</math> Це й завершує доведення теореми. |
||
== Див. також == |
|||
* [[Інтегральна теорема Коші]] |
|||
* [[Теорема Асколі — Арцела]] |
|||
* [[Теорема Віталі (комплексний аналіз)]] |
|||
== Література == |
|||
* Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). ''Function Theory of One Complex Variable.'' Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9 |
|||
[[Категорія:Теореми компактності]] |
|||
[[Категорія:Теореми в комплексному аналізі]] |
Поточна версія на 21:49, 18 квітня 2020
В комплексному аналізі теорема Монтеля — важливе твердження про сім'ї голоморфних функцій. Названа на честь французького математика Поля Монтеля. Теорема має важливі застосування в комплекснму аналізі, зокрема при доведенні теорема Рімана про відображення.
Нехай — сім'я голоморфних функцій на відкритій підмножині . Якщо всі ці функції є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини існує дійсне число , таке що для всіх і всіх справедливою є нерівність
Тоді сім'я функцій є нормальною тобто з кожної послідовності функцій модна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на всіх компактних підмножинах в
Справедливим також є багатовимірний аналог теореми, де .
Твердження теореми є специфічним для випадку голоморфних функцій комплексної змінної. Їх аналоги для функцій дійсних змінних не є справедливими. Наприклад послідовність аналітичних функцій є обмеженою на проміжку проте для цієї послідовності немає навіть поточково збіжної підпослідовності.
Зафіксуємо компактну множину . Тепер виберемо трохи більшу компактну підмножину таку, що внутрішність містить . Тоді для деякого , для всіх точок таких що відрізок, що їх сполучає, повністю належить .
Оскільки є компактною множиною, то існує таке число , що якщо то круг Тоді, для всіх з інтегральної теореми Коші випливає нерівність:
Ці нерівності виконуються для всіх і .
Нехай тепер і зафіксуємо . Припустимо, що і — параметризація відрізка, що сполучає точки
Тоді
Зокрема сім'я є ріностепенево неперервною. Тому з теореми Асколі — Арцели випливає, що з кожної послідовності функцій можна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на .
Тепер виберемо послідовність компактних підмножин таких, що кожна множина в цій послідовності міститься у внутрішності наступної множини і об'єднання всіх множин дорівнює З попереднього для будь-якої послідовності функцій можна вибрати підпослідовність , що рівномірно збігається на множині . Продовжуючи можна вибрати підпослідовність , що рівномірно збігається на . Подібним чином можна визначити , що рівномірно збігається на множині .
Тепер можна визначити послідовність . Вона є підпослідовністю і рівномірно збігається на всіх підмножинах , а тому і на всіх компактних підмножинах в Це й завершує доведення теореми.
- Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9