Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році.
Нехай
диференційовна в однозв’язній області
і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від
по будь-якій замкненій простій кривій
, яка лежить в області
, дорівнює нулю:
![{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7d252160c28b8f8928ac0f1471f26e9d80a445)
Згідно з властивістю інтегралу:
![{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }udx-vdy+i\int _{\gamma }udy+vdx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a162b04029ad5caa58c7fa2e6ead8a35598f8de)
Оскільки
має неперервну похідну першого порядку в області
, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області
Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:
![{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }udx-vdy+i\int _{\gamma }udy+vdx=\iint \limits _{R}\left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right)dA+i\iint \limits _{R}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}\right)dA.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feda778d43f997713c34d428bdfa279b846d074d)
Оскільки
є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:
і
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222c51bed74d29713303156cf47a029e65e5060d)
Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також
Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників
[ред. | ред. код]
Якщо функція f є голоморфною в області
, то інтеграл від f no орієнтованій границі будь-якого трикутника
є рівним 0:
![{\displaystyle \int _{\partial \Delta }f(z)dz=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6759711973c8b094d6ea8c7994153eeeebdab3b)
У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.
Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник
такий, що
![{\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta }f(z)dz\right|=M>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713d2cc2e5d479d310296d150f32f6aeb66d4ac4)
Припустимо, що границя
яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.
Розіб'ємо трикутник
на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.
Очевидно, що інтеграл від f по
дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють
із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник
для якого
![{\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{1}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92092f9b1d869c104d5668ef31bb50a782501acd)
Трикутник
знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один
такий, що
![{\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{2}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa02682ba8f13c1a56952f69dcf3ad7eacaaedbc)
За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі
-го трикутника виконується нерівність:
![{\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd9b4d19717b4c2745355ffb48e168a47060011)
Послідовність вкладених трикутників
має спільну точку
Очевидно
і функція f є голоморфною в точці
Тому з означення комплексної похідної для будь-якого
знайдеться
таке, що для всіх точок околу
у рівності
![{\displaystyle f(z)-f(z_{0})=f'(z_{0})(z-z_{0})+g(z)(z-z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d0581db4bb967398377d80f93634be142b761a)
для функції g виконується нерівність
Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого
належать околу V. Тому
![{\displaystyle \int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz=\int _{\partial \Delta _{n}}f(z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}f'(z_{0})(z-z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b439b645f33f44e52db83361e4b58b9ce415cd70)
Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники
і
можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і
по замкнутому контуру
є рівними 0.
Оскільки
для всіх
і також для всіх
величина
не перевищує периметра
трикутника
то
![{\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|=\left|\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz\right|<\varepsilon (P(\Delta _{n}))^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60809119df9597f412b3c333c620e95a5d277211)
Але за побудовою
де
позначає периметр трикутника
тож також
![{\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|<\varepsilon {(P(\Delta ))^{2} \over 4^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8382b005ab6f58419fd49f8deb9bfa05de184c7)
і враховуючи, що
остаточно
![{\displaystyle M<\varepsilon (P(\Delta ))^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e875f61dd585a17b87e15b504f79204a285860)
Із довільності числа
випливає, що M = 0 всупереч припущенню.
Нехай тепер
є точками у області
на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною
Позначимо
орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки
і
(із відповідним напрямком) і відрізку із точки
до точки
Тоді:
![{\displaystyle \int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ca4ff23ae6a2eda23d1d633004cc13311e32e5)
Для
(коли ламана лінія є точкою) і
(коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок
є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер
і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для
Тоді можна записати:
![{\displaystyle \int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m-1}}}f(z)+\int _{L_{a_{m-1},a_{m},a_{0}}}f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a58f4cf01ba23870f3d7fa24a1f88fe722605b6)
оскільки відрізок, що з'єднує точки
і
у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.
Якщо
є відкритим кругом із центром у точці
і радіусом
і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію
Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що
є первісною для
тобто
Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок
і спрямлюваної кривої
для якої
виконується рівність
.
Зокрема, якщо
і
є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:
![{\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\ dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5daf10f3248516e4038ca976de81c028769baa55)
Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.
Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів і контурів
[ред. | ред. код]
Нехай функція f є голоморфною у області U і
і
є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у U. Тоді:
![{\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515f712305c36f21e4ab5ed82619a0617e4f95ef)
Нехай
є гомотопією із
у
. Для будь-яких
і
точка
належить
. Із компактності випливає існування радіуса
для якого
для всіх
і
. Оскільки відображення
є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує
для якого
![{\displaystyle |\gamma (s',t')-\gamma (s,t)|\leqslant {\frac {r}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d1acb825a28ee4276ea14ecd94154d056d40a3)
для всіх
і
для яких
і
.
Нехай
і
є розбиттями відповідних відрізків для яких
і
для всіх
і
. Для кожного
і
позначимо
замкнутий контур із точок
![{\displaystyle C_{i,j}:=\gamma _{\gamma (s_{i},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j-1})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b79f0ec272da769c26e7fed6873265025ff917)
За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж
тож контур цілком міститься у крузі
Тому із попереднього
![{\displaystyle \int _{C_{i,j}}f(z)\ dz=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39f28351322d6f7bc143bb40ecfe86c61d97af8)
для всіх
і
. Просумувавши ці рівності для всіх
і
, враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що
![{\displaystyle \int _{\gamma _{\gamma (0,t_{0})\rightarrow \gamma (0,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (0,t_{n})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{\gamma (1,t_{0})\rightarrow \gamma (1,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (1,t_{n})}}f(z)\ dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7296f60d653042d84e9d391ffb0e1eaed84421bf)
Далі можна записати рівність
![{\displaystyle \int _{\gamma _{\gamma (0,t_{i-1})\rightarrow \gamma (0,t_{i})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}}f(z)\ dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0943f729c37c0c6b80d6c85396f726279621e9de)
для
, де
є обмеженням
на
і так само для
. Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки
і
і крива
за побудовою належать кругу
Разом із цього отримуємо
![{\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515f712305c36f21e4ab5ed82619a0617e4f95ef)
Із попереднього твердження випливає, зокрема, що якщо
є стягуваним замкнутим спрямлюваним контуром у U то
![{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\ dz=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360c2c93e5d477bc988e74589231ed726d080948)
Дане твердження є наслідком того факту, що гомотопія із замкнутого контура
на точку може завжди бути вибрана так, що вказаною точкою є точка
і гомотопія є гомотопією, що фіксує кінцеві точки, тобто
і
для всіх
і всіх
Тоді оскільки інтеграл по контуру виродженому у точку
є рівним нулю, то і інтеграл по контуру кінцевими точками якого є
і який є стягуваним до
за допомогою гомотопії, що фіксує кінцеві точки є рівним нулю.
Більш загально, якщо
є замкнутими спрямлюваними контурами, що є гомотопними, як замкнуті контури (тобто при гомотопії усі проміжні криві
теж є замкнутими контурами), то також
![{\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515f712305c36f21e4ab5ed82619a0617e4f95ef)
Узагальнення для довільних неперервних шляхів
[ред. | ред. код]
Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів
(не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття
, що всі відрізки виду
належать
. Тоді можна розглянути
— ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно
є спрямлюваною кривою.
Тоді можна взяти за означенням
Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії
.
Якщо тепер
і
є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:
![{\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515f712305c36f21e4ab5ed82619a0617e4f95ef)
Нехай
є областю і
є замкнутими контурами, що належать
. Циклом називається формальна лінійна комбінація:
![{\displaystyle \Gamma =n_{1}\gamma _{1}+n_{2}\gamma _{2}+\ldots +n_{r}\gamma _{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd22be049817c17577c859aeda75f65569d3cea2)
коефіцієнти якої
є цілими числами. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у
із очевидною операцією додавання утворює абелеву групу.
На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція
є визначена на всіх контурах
, що входять у цикл
то за означенням:
![{\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\ dz=n_{1}\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz+\ldots +n_{r}\int _{\gamma _{r}}f(z)\ dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3929ba8e65c56df33fd2a9f63d45c8cb79c71f52)
Для довільної точки
що не лежить на контурі
можна ввести індекс контуру відносно точки, як
![{\displaystyle I(\gamma ,z_{0})={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }{1 \over z-z_{0}}dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5800cf2268e93f9d0daf608f1a5921e40182f430)
Цей індекс завжди є цілим числом. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:
![{\displaystyle I(\Gamma ,z_{0})={1 \over 2\pi i}\sum _{i=1}^{r}\int _{\gamma _{i}}{1 \over z-z_{0}}dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0ca7de481a9dce64e84ef2e44e219ccd34846b)
Нехай функція
є голоморфною на області
. Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла
і кожної точки
що не належить
виконується рівність
то також
За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.
- Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.