Стійкість (динамічні системи): відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
|||
(Не показано 3 проміжні версії 3 користувачів) | |||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
{{Диференціальні рівняння|Загальні теми}} |
|||
В [[Математика|математиці]], |
В [[Математика|математиці]], розв'язок [[Диференціальні рівняння|диференціального рівняння]] (або, ширше, траєкторія в [[Фазовий простір|фазовому просторі]] точки стану [[Динамічна система|динамічної системи]]) називається '''стійким''', якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за [[Ляпунов Олександр Михайлович|Ляпуновим]], асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції. |
||
== Постановка завдання стійкості динамічних систем == |
== Постановка завдання стійкості динамічних систем == |
||
Рядок 10: | Рядок 11: | ||
|2=1}} |
|2=1}} |
||
При будь-яких <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> існує |
При будь-яких <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> існує єдиний розв'язок ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системи (1), задовольняюче початковим умовам ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' Будемо припускати, що розв'язок ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' визначено на інтервалі <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причому <math>J^+ \subset I</math>. |
||
Нехай дані також дві динамічні системи: |
Нехай дані також дві динамічні системи: |
||
Рядок 18: | Рядок 19: | ||
<math>\dot{X}(t)=F(X(t-\tau))+\mathfrak{F}(t,X_{t}).</math> (3) |
<math>\dot{X}(t)=F(X(t-\tau))+\mathfrak{F}(t,X_{t}).</math> (3) |
||
Кожен розв'язок <math>X(t,t_{0},\varphi)</math> системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом <math>t_{0}</math> та початковою [[Вектор-функція|вектор-функцією]] <math>\varphi(\xi),</math> де <math>X(t_{0}+\xi,t_{0},\varphi)=\varphi(\xi)</math> за <math>\xi\in[-\tau,0].</math> Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції <math>\varphi(\xi)</math> належать простору <math>PC[-\tau,0]</math> шматково-неперервних за <math>\xi\in[-\tau,0]</math> функцій із [[Простір неперервних функцій|рівномірною нормою]] <math>||\varphi||_{\tau}=\underset{\xi\in[-\tau,0]}{\sup}||\varphi(\xi)||,</math> де <math>||\cdot||</math> — [[евклідова норма]] вектора. |
|||
Функціонал <math>\mathfrak{F}(t,\varphi)</math> заданий й є неперервним у області |
Функціонал <math>\mathfrak{F}(t,\varphi)</math> заданий й є неперервним у області |
||
Рядок 28: | Рядок 29: | ||
<math>||R(t,\varphi)||\leq\beta(||\varphi||_{\tau}^{\sigma}),\quad\quad\beta>0,\,\,\sigma>0.</math> |
<math>||R(t,\varphi)||\leq\beta(||\varphi||_{\tau}^{\sigma}),\quad\quad\beta>0,\,\,\sigma>0.</math> |
||
Відтак система (3) має |
Відтак система (3) має розв'язок <math>X(t)\equiv0.</math> |
||
== Стійкість за Ляпуновим == |
== Стійкість за Ляпуновим == |
||
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається стійким за [[Ляпунов Олександр Михайлович|Ляпуновим]], якщо для будь-яких <math>t_0 \in I</math> і <math>\varepsilon > 0</math> існує <math>\delta > 0</math>, залежне тільки від ''ε'' і ''t<sub>0</sub>'' і не залежне від ''t'', таке, що для будь-якого ''x<sub>0</sub>'', для котрого <math>\|x_0\| < \delta</math>, розв'язок ''x'' системи з початковими умовами x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> триває на всю піввісь t > t<sub>0</sub> і задовольняє нерівності <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>. |
|||
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>. |
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>. |
||
Рядок 39: | Рядок 40: | ||
<math>\dot{X}(t)=F(X(t)),</math> (4) |
<math>\dot{X}(t)=F(X(t)),</math> (4) |
||
де <math>X(t)</math> |
де <math>X(t)</math> — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції <math>F(X)</math> визначені й неперервно диференційовані за усіх <math>X\in\mathbb{E}^{n}</math> та є однорідними функціями порядку <math>\mu\geq1.</math> Відтак система (4) має розв'язок <math>X(t)\equiv0.</math> |
||
Розгляньмо функцію Ляпунова <math>V(X),</math> яка має наступні властивості: |
Розгляньмо функцію Ляпунова <math>V(X),</math> яка має наступні властивості: |
||
Рядок 45: | Рядок 46: | ||
* <math>V(X)</math> неперервно диференційована; |
* <math>V(X)</math> неперервно диференційована; |
||
* <math>V(X)</math> додатно визначена; |
* <math>V(X)</math> додатно визначена; |
||
* <math>V(X)</math> |
* <math>V(X)</math> — однорідна функція порядку <math>\gamma>1</math>; |
||
* справедлива рівність <math>(\frac{\partial V(X)}{\partial X})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma+\mu-1}.</math> |
* справедлива рівність <math>(\frac{\partial V(X)}{\partial X})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma+\mu-1}.</math> |
||
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) |
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) <math>t\geq0,\,\,||X_{t}||_{\tau}<H</math> маємо |
||
<math>\dot{V}|_{(3)}=(\frac{\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}F(X(t))+(\frac{\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}(F(X(t))+R(t,X_{t}))\leq -||X(t)||^{\gamma+\mu-1}+b_{1}||X(t)||^{\gamma-1}(||F(X(t-\tau))-F(X(t))||+\beta(||X_{t}||_{\tau})^{\sigma}),</math> |
<math>\dot{V}|_{(3)}=(\frac{\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}F(X(t))+(\frac{\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}(F(X(t))+R(t,X_{t}))\leq -||X(t)||^{\gamma+\mu-1}+b_{1}||X(t)||^{\gamma-1}(||F(X(t-\tau))-F(X(t))||+\beta(||X_{t}||_{\tau})^{\sigma}),</math> |
||
де <math>b_{1}=\mathrm{const}>0.</math> Нехай |
де <math>b_{1}=\mathrm{const}>0.</math> Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність <math>\sigma>\mu>1,</math> то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення <math>\tau>0.</math> |
||
=== Рівномірна стійкість |
=== Рівномірна стійкість за Ляпуновим === |
||
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε: |
|||
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
||
=== Нестійкість |
=== Нестійкість за Ляпуновим === |
||
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо: |
|||
<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math> |
<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math> |
||
== Асимптотична стійкість == |
== Асимптотична стійкість == |
||
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова<math>\lim_{t \to \infty} \|x(t_*, t_0, x_0)\| = 0</math> для всякого ''x'' з початковою умовою ''x<sub>0</sub>'', що лежить у досить малому околі нуля. |
|||
=== Еквіасимптотична стійкість === |
=== Еквіасимптотична стійкість === |
||
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний. |
|||
=== Рівномірна асимптотична стійкість === |
=== Рівномірна асимптотична стійкість === |
||
Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний. |
|||
=== Асимптотична стійкість в цілому === |
=== Асимптотична стійкість в цілому === |
||
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний. |
|||
=== Рівномірна асимптотична стійкість в цілому === |
=== Рівномірна асимптотична стійкість в цілому === |
||
Тривіальний розв'язок ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний. |
|||
== Див. також == |
== Див. також == |
||
* Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги |
* [[Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги]] |
||
* [[Критерій Андронова — Понтрягіна]] |
|||
== Література == |
== Література == |
||
* {{книга-ру |автор={{автор|Річард Беллман|Беллман, Р.}} |заглавие=Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений |издательство=[[Издательство иностранной литературы]] |год=1954 |место=М. |язык=ru }} |
|||
* {{Книга|автор=Беллман Р.|Автор=Беллман Р.}} |
|||
* {{книга-ру |автор={{автор|Четаев Микола Гурійович|Четаев, Н. Г.}} |заглавие=Устойчивость движения |издание=4-е изд., испр. |место=М. |издательство=[[Наука (видавництво)|Наука]] |год=1990 |страниц=176 |язык=ru |isbn=5-02-014018-X }} |
|||
* {{Книга|автор=Четаев Н. Г.|Автор=Четаев Н. Г.}} |
|||
* {{книга-ру |автор={{автор|Красовський Микола Миколайович|Красовский, Н. Н.}} |заглавие=Некоторые задачи теории устойчивости движения |место=М. |издательство=[[Физматгиз]] |год=1959 |язык=ru }} |
|||
* {{Книга|автор=Красовский Н. Н.|Автор=Красовский Н. Н.}} |
|||
* {{книга-ру |автор={{автор|Малкін Іоель Гільович|Малкин И. Г.}} |заглавие=Теория устойчивости движения |издание=2-е изд., испр. |место=М. |издательство=[[Наука (видавництво)|Наука]] |год=1966 |язык=ru }} |
|||
* {{Книга|автор=Малкин И. Г.|Автор=Малкин И. Г.}} |
|||
* {{книга-ру |автор={{автор|Демидович Борис Павлович|Демидович, Б. П.}} |заглавие=Лекции по математической теории устойчивости |место=М. |издательство=[[Наука (видавництво)|Наука]] |год=1967 |страниц=472 |язык=ru }} |
|||
* {{Книга|автор=Демидович Б. П.|Автор=Демидович Б. П.}} |
|||
* {{ |
* {{книга-ру |автор=Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. |издание=3-е изд., испр. и доп. |заглавие=Математическая теория конструирования систем управления |место=М. |издательство=[[Высшая школа]] |год=2003 |страниц=614 |isbn=5-06-004162-X |язык=ru |ref=Афанасьев и др. }} |
||
* {{книга-ру|автор={{автор|Філіпов Олексій Федорович (математик)|Филиппов, А. Ф.}}|заглавие =Введение в теорию дифференциальных уравнений |ссылка = http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=47764&list=6 |издание = Изд. 2-е|место = |издательство = Эдиториал УРСС |год = 2007 |страниц = 240 |серия = |isbn = 978-5-484-00786-8}} |
|||
* {{Книга|автор=Филиппов А. Ф.|Автор=Филиппов А. Ф.}} |
|||
* {{книга-ру |автор=Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. |заглавие=Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости |ref=Руш и др. |год=1980 |место=М. |издательство=[[Мир (видавництво)|Мир]] }} |
|||
[[Категорія:Теорія динамічних систем]] |
[[Категорія:Теорія динамічних систем]] |
||
[[Категорія:Математичне моделювання]] |
[[Категорія:Математичне моделювання]] |
||
[[Категорія:Стійкість]] |
Поточна версія на 14:54, 10 червня 2024
В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.
Нехай — область простору , що містить початок координат, , де . Розглянемо систему (1) виду:
(1)
При будь-яких існує єдиний розв'язок x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t0, x0) визначено на інтервалі , причому .
Нехай дані також дві динамічні системи:
(2)
(3)
Кожен розв'язок системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом та початковою вектор-функцією де за Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції належать простору шматково-неперервних за функцій із рівномірною нормою де — евклідова норма вектора.
Функціонал заданий й є неперервним у області
де — множина функцій які задовільняють умові Припустимо, у цій області є справедливою оцінка
Відтак система (3) має розв'язок
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких і існує , залежне тільки від ε і t0 і не залежне від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого , розв'язок x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності .
.
Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь
(4)
де — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції визначені й неперервно диференційовані за усіх та є однорідними функціями порядку Відтак система (4) має розв'язок
Розгляньмо функцію Ляпунова яка має наступні властивості:
- неперервно диференційована;
- додатно визначена;
- — однорідна функція порядку ;
- справедлива рівність
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) маємо
де Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова для всякого x з початковою умовою x0, що лежить у досить малому околі нуля.
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.
Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.
- Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений : [рос.]. — М. : Издательство иностранной литературы, 1954.
- Четаев, Н. Г. Устойчивость движения : [рос.]. — 4-е изд., испр.. — М. : Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
- Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения : [рос.]. — М. : Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения : [рос.]. — 2-е изд., испр.. — М. : Наука, 1966.
- Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости : [рос.]. — М. : Наука, 1967. — 472 с.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления : [рос.]. — 3-е изд., испр. и доп.. — М. : Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
- Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
- Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М. : Мир, 1980.