Метод варіації параметрів або метод варіації довільної сталої (англ. variation of parameters, variation of constants) — це загальний метод для розв'язання неоднорідних лінійних звичайних диференціальних рівнянь. А саме знаходження часткового розв'язку неоднорідного рівняння, знаючи розв'язок відповідного однорідного рівняння.
Для неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зазвичай можливо з набагато меншими зусиллями знайти розв'язки, використовуючи інтегрувальний множник або невизначені коефіцієнти, хоча ці методи послуговуються евристиками, що вимагає вгадування і не спрацьовує для всіх неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.
Варіацію параметрів можна також поширити і на диференціальні рівняння з частинними похідними, конкретно на неоднорідні задачі для рівнянь лінійної еволюції як-от рівняння теплопровідності, хвильове рівняння і рівняння вібрування пластини. У цих умовах, метод відомий як принцип Дюамеля.
Лінійне диференціальне рівняння першого порядку
[ред. | ред. код]
![{\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddf00bb3e786a33253c09210536f119e295d005)
Розв'яжемо відповідне ЛОР і запишемо його загальний розв'язок.
.
Однорідне рівняння можна розв'язати довільним методом, наприклад методом розділення змінних:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f337573fa8b3ecf67a8fc63239c3bac5e7ac86ef)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f72be1c1423cd80a1329cc552ffa39b6a83c7a)
![{\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)dx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e349a71690ca6b158154515c4f8dffb26d485e)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a25accdff79c531800ed2fbde88c2c7e125b16e)
![{\displaystyle ln{(y)}=-\int p(x)\,dx+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db39844bed89fa6331497c2ffd7e6f7b0f432ddf)
![{\displaystyle y=e^{-\int p(x)\,dx+C}=Ce^{-\int p(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9971c849deac5905bcc19a368ec5f2112b1abbf8)
Загальний розв'язок:
![{\displaystyle y_{3}=Ce^{-\int p(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348da049caf44df920c6a42a9533845cf158ba9e)
Тепер розв'яжемо неоднорідне рівняння:
![{\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddf00bb3e786a33253c09210536f119e295d005)
Використовуючи метод варіації довільних сталих, ми отримаємо частковий розв'язок із загального:
![{\displaystyle y_{4acm}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6829a6bb4203f380e9e7159162cd15aa8bdb05)
Підставляючи частковий розв'язок в нелінійне рівняння ми можемо знайти C(x):
![{\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e067b0008e99cf42ed4615437fcda615d2a0eb2)
![{\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340c821f1fd052f1c5672433e4a5fc876a462984)
![{\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52147517d1a45130f75a772ae5cb5d3954b3e11)
![{\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eedaa0d3a1d46d8a7f018543b6bbb3cc244219f)
Тоді частковий розв'язок:
![{\displaystyle y_{4acm}=Ce^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab89b2e044f68624d255d67146e062fd045f9cb)
І загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:
![{\displaystyle y=y_{3}+y_{4acm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94baaafc69af3a88d730bf8319e3af1b0cd2a316)
![{\displaystyle y=Ce^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+Ce^{-\int p(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0540ad64855c02cab17a1cc5ec6f7382edd2723f)
Звичайне диференціальне рівняння другого порядку
[ред. | ред. код]
Припустимо, що нам відомі лінійно незалежні розв'язки
і
для відповідного однорідного рівняння
тоді ми шукаємо
і
такі, що
Тепер накладемо таку додаткову умову:
отже
Підставимо
і
в початкове рівняння, у результаті отримуємо
що спрощується до
Разом із додатковою умовою маємо систему
Для розв'язання щодо
і
використаємо правило Крамера, отримуємо
де
це визначник Вронського, який є функцією тільки від
отже ми можемо проінтегрувати і отримати
довільні сталі інтегрування можна опустити, оскільки нам достатньо одного часткового розв'язку. Тепер, отримані
і
можна підставити для отримання часткового розв'язку
Weisstein, Eric W. Метод варіації параметрів(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.