CW-комплекс

CW-комплекс — тип топологічних просторів, запропонований Джоном Уайтхедом для потреб теорії гомотопій. Цей клас просторів ширший і має деякі кращі категоріальні властивості, ніж симпліційні комплекси, але так само зберігає комбінаторну природу, яка дозволяє обчислення (часто за допомогою значно меншого комплексу).

Означення

Грубо кажучи, CW-комплекс будується з базових блоків — клітин. Точне визначення вказує, як ці клітини можна топологічно склеювати між собою.

n-вимірна замкнена клітина є образом n-вимірної замкненої кулі. Наприклад, симплекс є замкненою клітиною, і більш загально, опуклий багатогранник є замкненою клітиною. n-вимірна відкрита клітина — топологічний простір, гомеоморфний відкритій кулі. 0-вимірна відкрита (та замкнена) клітина є сінґлетоном.

Для формального означення, нехай $\Delta ^{n},\ B^{n}$ і $S^{n}$ позначають відповідно замкнуту одиничну кулю, відкриту одиничну кулю і одиничну сферу відповідних розмірностей. Для кожного $n\geqslant 0$ нехай $A_{n}$ позначає індексуючу множину і $\varphi _{\alpha }:\Delta ^{n}\to X$ — для кожного $\alpha \in A_{n}$ є неперервним відображенням образ якого називається замкненою клітиною у X (а образи $B^{n}$ при цих відображеннях називаються відкритими клітинами).

CW-комплексом називається гаусдорфів простір X із вказаними індексуючими множинами і відображеннями, що задовольняє додаткові умови:

1. Відкриті клітини утворюють розбиття простору X, тобто $X=\bigcup _{n\geqslant 0,\ \alpha \in A_{n}}\varphi _{\alpha }(B^{n}).$
2. Всі відображення $\varphi _{\alpha }(B^{n})$ є ін'єктивними і $\varphi _{\alpha }(B^{n})\cap \varphi _{\beta }(B^{m})$ є непустою множиною лише коли $m=n$ і $\alpha =\beta .$
3. n-кістяком CW-комплекса називається підпростір $X^{n}=\bigcup _{0\leqslant m\leqslant n,\ \alpha \in A_{m}}\varphi _{\alpha }(B^{m}).$ Для всіх $n\geqslant 1$ і $\alpha \in A_{n}$ образи одиничних сфер належать кістякам відповідних розмірів, тобто $\varphi _{\alpha }(S^{n-1})\subset X^{n-1}.$
4. Для всіх $n\geqslant 0$ і $\alpha \in A_{n}$ множина $\varphi _{\alpha }(\Delta ^{n})$ є підмножиною скінченного об'єднання множин виду $\varphi _{\beta }(B^{m}).$
5. Підмножина $V\subset X$ є замкнутою підмножиною простору X, якщо і тільки якщо для всіх $n\geqslant 0$ і $\alpha \in A_{n}$ множина $(\varphi _{\alpha })^{-1}(V)$ є замкнутою підмножиною у $\Delta ^{n}.$

Індуктивне означення CW-комплексів

Якщо найбільша розмірність клітин CW-комплексу є рівною n, то число n називається розмірністю CW-комплексу. Якщо розмірності його клітин не мають обмеження зверху, то комплекс називається нескінченновимірним.

n-кістяк CW-комплекса — об'єднання всіх клітин розмірності не більше n.

Якщо об'єднання множини клітин замкнене, то воно теж є CW-комплексом, і називається підкомплексом. Отож, n-кістяк — найбільший підкомплекс розмірності n чи менше. Підкомплекс називається скінченним, якщо він є об'єднанням скінченної кількості клітин.

Відображення $f:X\to Y$ між CW-комплексами називається клітинним відображенням, якщо образ n-кістяка комплекса X міститься у n-кістяку комплекса Y.

CW-комплекс часто конструюється шляхом визначення його кістяків індуктивно. Почнемо, взявши за 0-кістяк деякий дискретний простір. Далі приклеїмо 1-клітини до 0-кістяку. Тут 1-клітини приклеюються до точок 0-кістяка неперервним відображенням з одиничних 0-сфер, тобто, $S_{0}$. Визначимо 1-кістяк як фактор-простір, отриманий з об'єднання 0-кістяка та 1-клітин ототожненням точок границі 1-клітин фактор-відображенням точок границі 1-клітин в 1-клітини. В загальному випадку, взявши (n − 1)-кістяк і набір замкнених n-клітин, n-клітини приклеюються до (n − 1)-кістяка деяким неперервним відображенням з $S_{n-1}$, і ототожненням шляхом вказання відображень з границі кожної n-клітини у (n − 1)-кістяк. n-кістяк є фактор-простором, отриманим з об'єднання (n − 1)-кістяків і замкнених n-клітин ототожненням кожної точки границі n-клітини з її образом.

Властивості

• Нехай X — CW-комплекс і Y — довільний топологічний простір. Тоді відображення $f:X\to Y$ є неперервним тоді і тільки тоді коли неперервними є відображення $f\circ \varphi _{\alpha }:\Delta ^{n}\to Y$ для всіх $n\geqslant 1$ і $\alpha \in A_{n}.$
• Для всіх $n\geqslant 0$ і $\alpha \in A_{n}$ множина $\varphi _{\alpha }(\Delta ^{n})$ є підмножиною скінченного підкомплексу у X (а не лише підмножиною скінченного об'єднання відкритих клітин як у пункті 4 означення).
• Кожна лінійна компонента зв'язності CW-комплекса є підкомплексом.
• Зв'язаний CW-комплекс є лінійно зв'язаним.
• Кожна компактна підмножина CW-комплекса міститься у скінченному підкомплексі.
• Якщо X є CW-комплексом і Y — підкомплексом, то фактор-простір X/Y теж є CW-комплексом.
• Якщо всі простори $X_{\alpha }\ (\alpha \in A)$ є CW-комплексами то і букет просторів $\bigvee _{\alpha }X_{\alpha }$ є CW-комплексом, якщо всі виділені точки є 0-клітинами.
• Якщо X і Y є CW-комплексами і або хоча б один із них є локально компактним простором або обидва містять не більш, ніж зліченну кількість клітин, то добуток $X\times Y$ теж є CW-комплексом. В загальному випадку проте добуток із стандартною топологією не буде CW-комплексом. Тому на декартовому добутку X і Y часто вводять альтернативну слабку топологію при якій підмножина $V\subset X\times Y$ є замкнутою тоді і тільки тоді коли всі множини $(\varphi _{\alpha }\times \varphi _{\beta })^{-1}(V)$ ,будуть замкнутими у $\Delta ^{n}\times \Delta ^{m}.$
• Якщо X і Y є CW-комплексами і або хоча б один із них є локально компактним простором або обидва містять не більш, ніж зліченну кількість клітин, то смеш-добуток $X\wedge Y$ теж є CW-комплексом. Для загального випадку можна отримати CW-комплекс ввівши топологію похідну від слабкої топології для добутку.
• Якщо X є CW-комплексом і Y — підкомплексом, то виконується властивість абсолютного гомотопного продовження: якщо для будь-якого топологічного простору Z є неперервне відображення $f:X\to Z$ і гомотопія $G:Y\times I\to Z$ для якої $G|_{Y\times 0}=f|_{Y},$ то існує також гомотопія $F:X\times I\to Z$ для якої $F|_{X\times 0}=f$ і $F|_{Y\times I}=G.$
• Накриваючий простір CW-комплекса є CW-комплексом.
• Теорема Вайтхеда: відображення між CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю тоді і тільки тоді коли воно породжує ізоморфізми на усіх групах гомотопій.
• Теорема про клітинне наближення: якщо $f:X\to Y$ є неперервним відображенням між CW-комплексами і для деякого підкомплекса $Z$ у $X$(можливо порожнього) обмеження $f|_{Z}$ є клітинним відображенням, то існує таке клітинне відображення $g:X\to Y$, що є гомотопним до $f$ відносно $Z.$
  

Приклади

• Простір $\{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subset \mathbb {C}$ є гомотопічно еквівалентним CW-комплексу (оскільки він є стягуваним) але на ньому неможливо ввести структуру CW-комплексу (оскільки всі CW-комплекси є локально стягуваними).
• Гавайська сережка — приклад топологічного простору, що гомотопно не є еквівалентним ніякому CW-комплексу.
• Ще одним прикладом простору, що не є гомотопно еквівалентним CW-комплексу є підпростір $V$ на дійсній прямій елементами якого є числа 0 і $1/n,\ n\in \mathbb {N}$ із індукованою топологією. Цей підпростір є компактним і кожна його точка є окремою лінійною компонентою. Тоді кожен гомотопно еквівалентний простір має мати нескінченну кількість лінійних компонент. Якщо f є гомотопною еквівалентністю із V на CW-комплекс X, то f(V) буде компактною множиною і тому буде міститися у скінченному підкомплексі. Звідси також f(V) буде підмножиною скінченного об'єднання лінійних компонент X і тому f не може бути гомотопною еквівалентністю.
• Будь-який многогранник природним чином наділяється структурою CW-комплексу, а граф — одновимірного CW-комплексу.
• Якщо X є CW-комплексом, то і його надбудова, редукована надбудова і редукований конус є CW-комплексами.
• N-вимірна сфера допускає клітинну структуру з однією клітиною розмірності 0 і однією n-вимірною клітиною (оскільки n-вимірна сфера є гомеоморфною фактор-простору n-вимірного кулі по її границі). Інше клітинне розбиття використовує той факт, що вкладення «екватора» $S^{n-1}\to S^{n}$ ділить сферу на дві n-вимірні клітини (верхню і нижню півсфери). За індукцією звідси можна одержати клітинне розбиття n-вимірної сфери з двома клітинами в кожній розмірності від 0 до n, а застосування конструкції прямої границі дозволяє отримати клітинне розбиття сфери $S^{\infty }$.
• Дійсний проективний простір $\mathbb {RP} ^{n}$ допускає клітинну структуру з однією клітиною в кожній розмірності, а $\mathbb {CP} ^{n}$ — з однією клітиною в кожній парній розмірності.
• Нескінченновимірний гільбертів простір не є CW-комплексом. Такий простір є простором Бера і тому не є об'єднанням зліченної множини n-кістяків, кожен з яких є замкнутою підмножиною із пустою внутрішністю.
• Грассманіан допускає розбиття на клітини, що називаються клітинами Шуберта.
• Для будь-якого компактного гладкого многовида можна побудувати гомотопічно еквівалентний йому CW-комплекс (наприклад за допомогою функції Морса).

Див. також

• Абстрактний клітинний комплекс

Література

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Lundell, A. T.; Weingram, S. (1970). The topology of CW complexes. Van Nostrand University Series in Higher Mathematics. ISBN 0-442-04910-2.
• Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4