Лінійно зв'язний простір
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
Лінійно зв'язний простір — топологічний простір, в якому будь-які дві точки можна з'єднати неперервною кривою.
- Розглянемо відрізок числової прямої з визначеною на ньому стандартною топологією дійсної прямої. Нехай також дано топологічний простір Тоді останній називається лінійно зв'язаним, якщо для будь-яких двох точок знайдеться неперервне відображення таке, що
- Нехай дана підмножина . Тоді на ньому природним чином визначається топологія , індукована . Якщо простір лінійно зв'язаний, то підмножина також називається лінійно зв'язаною у .
- Будь-який лінійно зв'язний простір є зв'язаним.
- Обернене твердження є невірним; наприклад замикання графіка функції є зв'язаним, але не лінійно зв'язаним (замикання окрім самого графіка функції містить також відрізок на осі ординат і жодну точка цього відрізку не можна поєднати неперервною кривою із будь-якою точкою графіка).
- Неперервний образ лінійно зв'язного простору є лінійно зв'язним.
- Якщо простір X є лінійно зв'язним і , то фундаментальні групи і є ізоморфними і цей ізоморфізм визначається однозначно з точністю до внутрішнього автоморфізму .
Будемо вважати, що , а — стандартна топологія числової прямої. Тоді
- Підмножина є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли
- тобто будь-які дві точки входять до нього разом із з'єднучим їх відрізком.
- Будь-яка лінійно зв'язна підмножина числової прямої є скінченним або нескінченним, відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом:
- Підмножина числової прямої є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли вона є зв'язною.
Багатовимірним узагальненням лінійної зв'язності є k-зв'язність (зв'язність у розмірності ). Простір називається зв'язаним у розмірності , якщо будь-яке відображення r-вимірної сфери в , де , є гомотопним сталому відображенню.
Зокрема, лінійно зв'язний простір є 0-зв'язним простором, тобто будь-яке відображення дискретної множини із двох точок (нульвимірної сфери) гомотопно сталому відображенню.
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)