Теорема Монтеля

В комплексному аналізі теорема Монтеля — важливе твердження про сім'ї голоморфних функцій. Названа на честь французького математика Поля Монтеля. Теорема має важливі застосування в комплекснму аналізі, зокрема при доведенні теорема Рімана про відображення.

Твердження теореми

Нехай ${\mathcal {F}}$ — сім'я голоморфних функцій на відкритій підмножині $U\subseteq \mathbb {C}$. Якщо всі ці функції є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини $K\subseteq U$ існує дійсне число $M=M_{K}$, таке що для всіх $z\in K$ і всіх $f_{\alpha }\in {\mathcal {F}}$ справедливою є нерівність $|f_{\alpha }(z)|\leqslant M.$

Тоді сім'я функцій ${\mathcal {F}}$ є нормальною тобто з кожної послідовності функцій $f_{j}\in {\mathcal {F}}$ модна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на всіх компактних підмножинах в $U.$

Справедливим також є багатовимірний аналог теореми, де $U\subseteq \mathbb {C} ^{n}$.

Порівняння з випадком дійсних функцій

Твердження теореми є специфічним для випадку голоморфних функцій комплексної змінної. Їх аналоги для функцій дійсних змінних не є справедливими. Наприклад послідовність аналітичних функцій $\{\sin kx\}_{k=1}^{\infty }$ є обмеженою на проміжку $[0,2\pi ]$ проте для цієї послідовності немає навіть поточково збіжної підпослідовності.

Доведення

Зафіксуємо компактну множину $K\subseteq U$. Тепер виберемо трохи більшу компактну підмножину $L\subseteq U$ таку, що внутрішність $L$ містить $K$. Тоді для деякого $\eta >0$, для всіх точок $z,w\in K$ таких що $|z-w|<\eta$ відрізок, що їх сполучає, повністю належить $L$.

Оскільки $L$ є компактною множиною, то існує таке число $r>0$, що якщо $z_{0}\in L$ то круг $B(z_{0},r)\subset U.$ Тоді, для всіх $f\in {\mathcal {F}}$ з інтегральної теореми Коші випливає нерівність:

$|f'(z_{0})|\leqslant {\frac {M}{r}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;C_{1}.$

Ці нерівності виконуються для всіх $f\in {\mathcal {F}}$ і $z_{0}\in L$.

Нехай тепер $z,w\in K$ і зафіксуємо $f\in {\mathcal {F}}$. Припустимо, що $|z-w|<\eta$ і $\gamma (t):[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ — параметризація відрізка, що сполучає точки $z,w.$

Тоді

$|f(z)-f(w)|=\left|\int _{0}^{1}f'(\gamma (t))\gamma '(t)\right|\leqslant C_{1}\int _{0}^{1}|\gamma '(t)|dt=C_{1}|z-w|.$

Зокрема сім'я ${\mathcal {F}}$ є ріностепенево неперервною. Тому з теореми Асколі — Арцели випливає, що з кожної послідовності функцій $f_{j}\in {\mathcal {F}}$ можна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на $K$.

Тепер виберемо послідовність компактних підмножин $K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots$ таких, що кожна множина в цій послідовності міститься у внутрішності наступної множини і об'єднання всіх множин дорівнює $U.$ З попереднього для будь-якої послідовності функцій $f_{j}\in {\mathcal {F}}$ можна вибрати підпослідовність $f_{j1}\in {\mathcal {F}}$, що рівномірно збігається на множині $K_{1}$. Продовжуючи можна вибрати підпослідовність $f_{j2}\subset f_{j1}$, що рівномірно збігається на $K_{2}$. Подібним чином можна визначити $f_{j2}\subset f_{j1}$, що рівномірно збігається на множині $K_{i}$.

Тепер можна визначити послідовність $g_{i}=f_{ii}$. Вона є підпослідовністю $f_{j}$ і рівномірно збігається на всіх підмножинах $K_{i}$, а тому і на всіх компактних підмножинах в $U.$ Це й завершує доведення теореми.

Див. також

• Інтегральна теорема Коші
• Теорема Асколі — Арцела
• Теорема Віталі (комплексний аналіз)

Література

• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9