Стійкість (динамічні системи): відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Tolsai (обговорення | внесок) Функція пропозицій посилань: додано 1 посилання. |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
{{Диференціальні рівняння|Загальні теми}} |
|||
В [[Математика|математиці]], розв'язок [[Диференціальні рівняння|диференціального рівняння]] (або, ширше, траєкторія в [[Фазовий простір|фазовому просторі]] точки стану [[Динамічна система|динамічної системи]]) називається '''стійким''', якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за [[Ляпунов Олександр Михайлович|Ляпуновим]], асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції. |
В [[Математика|математиці]], розв'язок [[Диференціальні рівняння|диференціального рівняння]] (або, ширше, траєкторія в [[Фазовий простір|фазовому просторі]] точки стану [[Динамічна система|динамічної системи]]) називається '''стійким''', якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за [[Ляпунов Олександр Михайлович|Ляпуновим]], асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції. |
||
Рядок 92: | Рядок 93: | ||
* {{книга-ру|автор={{автор|Філіпов Олексій Федорович (математик)|Филиппов, А. Ф.}}|заглавие =Введение в теорию дифференциальных уравнений |ссылка = http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=47764&list=6 |издание = Изд. 2-е|место = |издательство = Эдиториал УРСС |год = 2007 |страниц = 240 |серия = |isbn = 978-5-484-00786-8}} |
* {{книга-ру|автор={{автор|Філіпов Олексій Федорович (математик)|Филиппов, А. Ф.}}|заглавие =Введение в теорию дифференциальных уравнений |ссылка = http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=47764&list=6 |издание = Изд. 2-е|место = |издательство = Эдиториал УРСС |год = 2007 |страниц = 240 |серия = |isbn = 978-5-484-00786-8}} |
||
* {{книга-ру |автор=Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. |заглавие=Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости |ref=Руш и др. |год=1980 |место=М. |издательство=[[Мир (видавництво)|Мир]] }} |
* {{книга-ру |автор=Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. |заглавие=Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости |ref=Руш и др. |год=1980 |место=М. |издательство=[[Мир (видавництво)|Мир]] }} |
||
[[Категорія:Теорія динамічних систем]] |
[[Категорія:Теорія динамічних систем]] |
||
[[Категорія:Математичне моделювання]] |
[[Категорія:Математичне моделювання]] |
Поточна версія на 14:54, 10 червня 2024
В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.
Нехай — область простору , що містить початок координат, , де . Розглянемо систему (1) виду:
(1)
При будь-яких існує єдиний розв'язок x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t0, x0) визначено на інтервалі , причому .
Нехай дані також дві динамічні системи:
(2)
(3)
Кожен розв'язок системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом та початковою вектор-функцією де за Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції належать простору шматково-неперервних за функцій із рівномірною нормою де — евклідова норма вектора.
Функціонал заданий й є неперервним у області
де — множина функцій які задовільняють умові Припустимо, у цій області є справедливою оцінка
Відтак система (3) має розв'язок
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких і існує , залежне тільки від ε і t0 і не залежне від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого , розв'язок x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності .
.
Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь
(4)
де — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції визначені й неперервно диференційовані за усіх та є однорідними функціями порядку Відтак система (4) має розв'язок
Розгляньмо функцію Ляпунова яка має наступні властивості:
- неперервно диференційована;
- додатно визначена;
- — однорідна функція порядку ;
- справедлива рівність
Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) маємо
де Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова для всякого x з початковою умовою x0, що лежить у досить малому околі нуля.
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.
Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.
Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.
- Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений : [рос.]. — М. : Издательство иностранной литературы, 1954.
- Четаев, Н. Г. Устойчивость движения : [рос.]. — 4-е изд., испр.. — М. : Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
- Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения : [рос.]. — М. : Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения : [рос.]. — 2-е изд., испр.. — М. : Наука, 1966.
- Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости : [рос.]. — М. : Наука, 1967. — 472 с.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления : [рос.]. — 3-е изд., испр. и доп.. — М. : Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
- Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
- Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М. : Мир, 1980.