Сфера Рімана: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
м робот додав: sk:Riemannova guľa; косметичні зміни |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Сфера Рімана''' — |
'''Сфера Рімана''' — [[ріманова поверхня]], природня структура на розширеній [[комплексна площина|комплексній площині]] <math>\widehat{\C} = \C \cup \{\infty\},</math> яка є комплексною [[проективний простір|проективною прямою]] <math>\C \mathbb P^1.</math> |
||
Як дійсний многовид [[дифеоморфізм|дифеоморфна]] двовимірній [[сфера|сфері]] <math>\ S^2.</math> |
Як дійсний многовид [[дифеоморфізм|дифеоморфна]] двовимірній [[сфера|сфері]] <math>\ S^2.</math> |
||
==Координати== |
== Координати == |
||
Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами: |
Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами: |
||
* афінна комплексна координата ''z'', яка приймає значення <math>\infty</math>; |
* афінна комплексна координата ''z'', яка приймає значення <math>\infty</math>; |
||
Рядок 17: | Рядок 17: | ||
:<math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math> |
:<math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math> |
||
<math>(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z</math> задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається |
<math>(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z</math> задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається [[стереографічна проекція|стереографічною проекцією]]. |
||
== Перетворення Мебіуса == |
== Перетворення Мебіуса == |
||
Рядок 52: | Рядок 52: | ||
[[pt:Esfera de Riemann]] |
[[pt:Esfera de Riemann]] |
||
[[ru:Сфера Римана]] |
[[ru:Сфера Римана]] |
||
[[sk:Riemannova guľa]] |
|||
[[sl:Riemannova sfera]] |
[[sl:Riemannova sfera]] |
||
[[sv:Riemannsfären]] |
[[sv:Riemannsfären]] |
Версія за 04:23, 11 листопада 2010
Сфера Рімана — ріманова поверхня, природня структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою
Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері
Координати
Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:
- афінна комплексна координата z, яка приймає значення ;
- проективні комплексні координати ;
- тривимірні дійсні координати , пов’язані рівнянням:
- .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Riemannova_koule.png)
Перехід від одних координат до інших задається формулами:
задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.
Перетворення Мебіуса
Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай — матриця із . Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовбця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:
Додаток
Сфера Рімана відома в теоретичній фiзиці.
В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов’язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв’язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. (см. рис.)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Blochsphere.svg/220px-Blochsphere.svg.png)
В такому випадку вірні співвідношення: