Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія для друку більше не підтримується і може мати помилки обробки. Будь ласка, оновіть свої закладки браузера, а також використовуйте натомість базову функцію друку у браузері.
Метод Гальоркіна — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики .
Загальне формулювання
Нехай є диференціальне рівняння з деякими
крайовими умовами (першого роду)
A
^
[
u
(
x
)
]
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]=f(x)}
,
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
, (1)
u
(
a
)
=
α
{\displaystyle u(a)=\alpha }
,
u
(
b
)
=
β
{\displaystyle u(b)=\beta }
.
Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми
u
(
x
)
≈
y
n
(
x
)
=
ϕ
0
(
x
)
+
∑
k
=
1
n
ϕ
k
(
x
)
∗
α
k
{\displaystyle u(x)\approx y_{n}(x)=\phi _{0}(x)+\sum _{k=1}^{n}\phi _{k}(x)*\alpha _{k}}
, (2)
де
ϕ
0
(
x
)
{\displaystyle \phi _{0}(x)}
— деяка неперервна функція , що задовільняє крайові умови (1),
ϕ
k
(
x
)
{\displaystyle \phi _{k}(x)}
,
1
≤
k
<
∞
{\displaystyle 1\leq k<\infty }
, якась система лінійно незалежних функцій, повна в класі неперервних функцій, що визначені на відрізку [a,b] і набувають нульових значень на його кінцях.
Якщо для функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
вираз
A
^
[
u
(
x
)
]
−
f
(
x
)
{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]-f(x)}
є ортогональним до
ϕ
k
(
x
)
{\displaystyle \phi _{k}(x)}
при
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
, то
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
— розв'язок задачі (1).
Якщо ортогональність є тільки при
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq k\leq n}
, то
A
^
[
u
(
x
)
]
≈
f
(
x
)
{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]\approx f(x)}
.
Замість
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
будемо брати наближений розв'язок у формі (2) і будемо вимагати, щоб
∫
a
b
[
A
^
[
y
n
(
x
)
]
−
f
(
x
)
]
ϕ
k
(
x
)
d
x
=
0
,
1
≤
k
≤
n
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}[{\hat {A}}[y_{n}(x)]-f(x)]\phi _{k}(x)\,dx=0,1\leq k\leq n.}
Застосування до квантової механіки
Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-
H
^
[
u
(
x
)
]
=
E
u
(
x
)
{\displaystyle {\hat {H}}[u(x)]=Eu(x)}
де H - оператор.
Саму функцію
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
представляють у
вигляді суми -
u
(
x
)
=
ϕ
0
(
x
)
+
∑
i
=
1
N
ϕ
i
(
x
)
α
i
{\displaystyle u(x)=\phi _{0}(x)+\sum _{i=1}^{N}\phi _{i}(x)\alpha _{i}}
.
Метод дає нам саме коефіцієнти
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
.
Розглянемо функції
ϕ
i
(
x
)
{\displaystyle \phi _{i}(x)}
на [0,∞).
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
ϕ
i
(
x
)
d
x
=
b
j
,
i
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*\phi _{i}(x)\,dx=b_{j,i}}
Домножимо рівняння
H
[
u
(
x
)
]
=
E
u
(
x
)
{\displaystyle H[u(x)]=Eu(x)}
на
ϕ
j
(
x
)
{\displaystyle \phi _{j}(x)}
і проінтегруємо, маємо -
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
H
^
[
u
(
x
)
]
d
x
=
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
E
∗
u
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[u(x)]\,dx=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*E*u(x)\,dx}
∑
i
=
1
N
α
i
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
H
^
[
ϕ
i
(
x
)
]
d
x
=
∑
i
=
1
N
b
j
,
i
∗
E
α
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx=\sum _{i=1}^{N}b_{j,i}*E\alpha _{i}}
.
Введемо наступне позначення -
ϕ
j
,
i
=
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
H
^
[
ϕ
i
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \phi _{j,i}=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx}
.
Маємо систему лінійних рівнянь -
∑
i
=
1
N
α
i
[
ϕ
j
,
i
−
E
∗
b
j
,
i
]
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0}
.
Яка розв'язується за умови -
det
[
ϕ
j
,
i
−
E
∗
b
j
,
i
]
=
0
,
j
=
1
,
N
{\displaystyle \det[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0,j=1,N}
.
Посилання