Перетворення Мебіуса

Перетворення на комплексній площині (сірим) та сфері Рімана (чорним)

В геометрії та комплексному аналізі перетворення Мебіуса комплексної площини є раціональною функцією однієї комплексної змінної вигляду

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$

де $z$ — змінна, коефіцієнти $a$, $b$, $c$, $d$ — комплексні числа, що задовольняють умову $ad-bc\neq 0$.

Геометрично перетворення Мебіуса можна отримати наступним шляхом:

• Виконати стереографічну проекцію одиничної сфери у тривимірному просторі на площину.
• Повернути та перемістити сферу в нове положення та змінити орієнтацію в просторі.
• Виконати стереографічну проекцію (з нового положення сфери) на площину.

Ці перетворення зберігають кути, відображають будь-яку пряму у пряму або коло, відображають будь-яке коло у пряму або коло.

Перетворення Мебіуса — це проєктивні перетворення комплексної проєктивної прямої. Вони утворюють групу, яка називається групою Мебіуса, що є проєктивною групою ${\rm {PGL}}(2,\mathbb {C} )$. Група Мебіуса разом з її підгрупами має численні застосування в математиці та фізиці.

Перетворення Мебіуса названо на честь Августа Фердинанда Мебіуса. Проте, для нього також використовують такі назви як: проєктивне перетворення, дробово-лінійне перетворення, або ж білінійне перетворення.

Загальний огляд

Перетворення Мебіуса визначаються на розширеній комплексній площині $\mathbb {\widehat {C}} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}$ (тобто, комплексній площині, доповненій нескінченно віддаленою точкою).

Стереографічна проєкція ототожнює $\mathbb {\widehat {C}}$ із сферою, яку прийнято називати сферою Рімана. Також $\mathbb {\widehat {C}}$ можна розглядати як комплексну проєктивну лінію $\operatorname {CP^{1}}$. Перетворення Мебіуса — це бієктивне конформне відображення сфери Рімана самої на себе, тобто автоморфізм сфери Рімана як комплексного многовиду. Також ці перетворення є автоморфізмами $\operatorname {CP^{1}}$ як алгебраїчного многовиду. Отже, сукупність усіх перетворень Мебіуса утворює групу відносно композиції. Ця група називається групою Мебіуса і іноді позначається як $\operatorname {Aut} (\mathbb {\widehat {C}} )$.

Група Мебіуса є ізоморфною до групи ізометрій, що зберігають орієнтацію, гіперболічного простору (простору Лобачевського, а тому відіграє важливу роль при вивченні гіперболічних 3-вимірних многовидів.

У фізиці одиничний компонент групи Лоренца діє на небесну сферу так само, як група Мебіуса діє на сферу Рімана. Насправді ж ці дві групи є ізоморфними. Спостерігач, який прискорюється до релятивістичних швидкостей, побачить візерунок із сузір'їв, який можна споглядати поблизу Землі, та який неперервно змінюється відповідно до інфінітезимальних перетворень Мебіуса. Це спостереження часто приймають як вихідну точку теорії твісторів.

Певні підгрупи групи Мебіуса утворюють групи автоморфізмів інших однозв'язних поверхонь Рімана (комплексна площина та гіперболічна площина). Таким чином, перетворення Мебіуса відіграють важливу роль у теорії поверхонь Рімана. Фундаментальна група кожної поверхні Рімана — це дискретна підгрупа групи Мебіуса (див. група Фукса та група Клейна). Особливо важливою дискретною підгрупою групи Мебіуса є модулярна група, що займає центральне місце в теорії багатьох фракталів, модулярних форм, еліптичних кривих та рівнянь Пелля.

Перетворення Мебіуса можна більш загально визначити в просторах розмірності більшої за 2 як бієктивні конформні відображення n-сфери на n-сферу, які зберігають орієнтацію. Таке перетворення є найбільш загальною формою конформного відображення сфери. Відповідно до теореми Ліувілля, перетворення Мебіуса можна виразити як композицію зсувів, подібностей, ортогональних перетворень та інверсій.

Означення

Загальний вигляд перетворення Мебіуса задається формулою

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$

де $a$, $b$, $c$, $d$ — будь-які комплексні числа, що задовольняють умову $ad-bc\neq 0$. Якщо $ad=bc$, то визначена вище раціональна функція є константою, оскільки

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a(cz+d)}{c(cz+d)}}-{\frac {ad-bc}{c(cz+d)}}={\frac {a}{c}},$

a, отже, не розглядається у цьому випадку як перетворення Мебіуса.

У випадку $c\neq 0$ це означення розширюється на всю сферу Рімана наступним чином:

$f\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty \qquad {\text{і}}\qquad f(\infty )={\frac {a}{c}}.$

Якщо $c=0$, то вважаємо

$f(\infty )=\infty .$

Таким чином, перетворення Мебіуса завжди є бієктивною голоморфною функцією, що відображає точки сфери Рімана у точки сфери Рімана.

Сукупність усіх перетворень Мебіуса утворює групу відносно композиції. На цій групі можна задати структуру комплексного многовиду таким чином, щоб композиція та інверсія були голоморфними відображеннями. Тоді група Мебіуса є групою Лі над комплексним полем. Групу Мебіуса зазвичай позначають як $\operatorname {Aut} (\mathbb {\widehat {C}} )$, оскільки вона є групою автоморфізмів сфери Рімана.

Фіксовані точки

Кожне перетворення Мебіуса, що не є тотожним, має дві фіксовані точки $\gamma _{1},\gamma _{2}$ у сфері Рімана. Зверніть увагу, що фіксовані точки тут зараховуються з Кратність; параболічними перетвореннями є ті, де нерухомі точки збігаються. Будь-яка або обидві з цих нерухомих точок може бути точкою на нескінченності.

Визначення фіксованих точок

Фіксовані точки перетворення

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

отримуються розв'язання рівняння з фіксованою точкою f(γ) = γ. Для c ≠ 0, це має два корені, отримані розширенням цього рівняння до

$c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,$

та застосовуючи квадратичну формулу. Коренями є

$\gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}$

з дискримінантом

$\Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\operatorname {det} {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc)$.

Параболічні перетворення мають випадкові нерухомі точки через нульовий дискримінант. Для відмінних від нуля та ненульових дискримінантів перетворення є еліптичним або гіперболічним.

Коли c = 0, квадратне рівняння вироджується в лінійне рівняння, і перетворення є лінійним. Це відповідає ситуації, що однією з фіксованих точок є точка на нескінченності. Коли a ≠ d друга фіксована точка є скінченною і задається як

$\gamma =-{\frac {b}{a-d}}.$

У цьому випадку перетворення буде простим перетворенням, що складається з переклад s, обертання s та розширення s:

$z\mapsto \alpha z+\beta .\,$

Якщо c = 0 і a = d, тоді обидві нерухомі точки знаходяться на нескінченності, і перетворення Мебіуса відповідає чистому перекладу:

$z\mapsto z+\beta .$

Топологічне доведення

Топологічно той факт, що (не-тотожні) перетворення Мебіуса фіксують 2 точки (з кратністю) відповідає характеристиці Ейлера сфери, що є 2:

$\chi ({\hat {\mathbf {C} }})=2.$

По-перше, проективна лінійна група PGL (2, K ) є різко 3-транзитивна & nbsp; — для будь-яких двох упорядкованих трійки різних точок існує унікальна карта що переносить одну потрійку в іншу, подібно до перетворень Мебіуса, і тим самим алгебраїчним доказом (по суті підрахунок розмірностей, оскільки група є тривимірною). Таким чином, будь-яка карта, що фіксує принаймні 3 точки, є ідентичністю.

Далі можна побачити, ототожнюючи групу Мебіуса з $PGL(2,\mathbb {C} )$, що будь-яка функція Мебіуса є гомотопною ідентичності. Дійсно, будь-який член загальної лінійної групи може бути зведений до ідентичної карти шляхом елімінації Гауса-Йордана, це показує, що проективна лінійна група також пов'язана із шляхом, забезпечуючи гомотопію до ідентичної карти. Теорема Лефшеца – Хопфа стверджує, що сума індексів (у цьому контексті кратності) нерухомих точок карти з кінцевою кількістю нерухомих точок дорівнює числу Лефшеца карти, яка в цьому case — це слід ідентичності на групах гомологій, що є просто характеристикою Ейлера.

Навпаки, проективна лінійна група реальної проективної лінії, PGL(2,R) не повинна фіксувати жодних точок — наприклад $(1+x)/(1-x)$ не має (реальних) фіксованих точок: як складне перетворення фіксує ±i .Геометрично ця карта є стереографічною проекцією обертання на 90 ° навколо ±i з періодом 4, який займає $0\mapsto 1\mapsto \infty \mapsto -1\mapsto 0.$- тоді як на карті 2xвиправлено дві точки 0 і ∞. Це відповідає тому факту, що ейлерова характеристика кола (реальна проективна пряма) дорівнює 0, і, отже, теорема Лефшеца про фіксовану точку говорить лише про те, що вона повинна фіксувати принаймні 0 точок, але, можливо, і більше.

Звичайна форма

Перетворення Мебіуса також іноді записуються через їх фіксовані точки у так званій `` нормальній формі . Спочатку ми розглянемо непараболічний випадок, для якого є дві чіткі фіксовані точки.

Непараболічний випадок :

Кожне непараболічне перетворення є спряжений до розширення / обертання, тобто перетворення форми

$z\mapsto kz\,$

(k ∈ C) з фіксованими точками в 0 і ∞. Щоб побачити це, визначте карту

$g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}$

який посилає точки (γ₁, γ₂) до (0, ∞). Тут ми припускаємо, що γ γ₁ та γ₂ є різними та скінченними. Якщо один з них уже на нескінченності, тоді g можна змінити так, щоб зафіксувати нескінченність і відправити іншу точку на 0.

Якщо f має різні фіксовані точки (γ₁, γ₂), то перетворення $gfg^{-1}$ має фіксовані точки при 0 і ∞ і тому є розширенням: $gfg^{-1}(z)=kz$. Тоді можна записати рівняння з фіксованою точкою для перетворення f

${\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.$

Розв'язування для f дає (у матричній формі):

${\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}$

або, якщо одна з фіксованих точок знаходиться на нескінченності:

${\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.$

З наведених виразів можна обчислити похідні від f у фіксованих точках:

$f'(\gamma _{1})=k\,$ and $f'(\gamma _{2})=1/k.\,$

Зверніть увагу, що, впорядковуючи фіксовані точки, ми можемо виділити один із множників ( k ) з f як 'характерну константу' з f . Зміна порядку фіксованих точок еквівалентно прийняттю зворотного множника для характеристичної константи:

${\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).$

Для локсодромних перетворень, коли |k| > 1, один говорить, що γ ₁  — це 'відразлива' фіксована точка, а γ₂ — 'приваблива' фіксована точка. Для |k| <1, ролі змінюються.

Параболічний випадок :

У параболічному випадку існує лише одна нерухома точка γ. Перетворення, що посилає цю точку на ∞, є

$g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}$

або тотожність, якщо γ вже на нескінченності. Перетворення $gfg^{-1}$ фіксує нескінченність і, отже, є перекладом:

$gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.$

Тут β називається 'довжиною перекладу' . Тоді формула фіксованої точки для параболічного перетворення є

${\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .$

Розв'язування для f (у матричній формі) дає

${\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}$

або, якщо γ = ∞:

${\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}$

Зауважимо, що β — це не характеристична константа f , яка завжди дорівнює 1 для параболічного перетворення. З наведених виразів можна обчислити:

$f'(\gamma )=1.\,$

Властивості

• Тотожне відображення $\ f(z)=z$ також є дробово-лінійною функцією ($a=d=1,\;b=c=0$).
• Композиція функцій дробово-лінійних відображень також є дробово-лінійною функцією.
• Обернена функція до дробово-лінійної функції також є дробово-лінійною функцією.

Звідки слідує, що дробово-лінійні відображення утворюють групу відносно операції суперпозиції (група автоморфізмів сфери Рімана, також відома під назвою група Мебіуса).

Ця група є комплексно-тривимірною групою Лі.

Геометричні властивості

• Дробово-лінійне відображення може бути представленим як суперпозиція зсуву, інверсії, повороту та розтягнення.

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}(z),$

де

1. $\ f_{1}(z)=z+d/c$ (зсув)
2. $\ f_{2}(z)=1/z$ (інверсія та and відбиття відносно дійсної осі)
3. $\ f_{3}(z)=(-(ad-bc)/c^{2})\cdot z$ (поворот та розтягнення)
4. $\ f_{4}(z)=z+a/c$ (зсув)

• З цієї властивості слідує збереження кутів і кіл при дробово-лінійному відображенні, так як всі його складові є конформними. Маються на увазі кола на сфері Рімана, тобто до них крім звичайних кіл входять прямі.

• Для довільних трьох точок $\ z_{1},\;z_{2},\;z_{3}$ існує єдине дробово-лінійне відображення, що переводить їх в задані три точки $\ w_{1},\;w_{2},\;w_{3}$.Вонобуде мати вигляд:

${\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z)}{(z_{1}-z)(z_{2}-z_{3})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w)}{(w_{1}-w)(w_{2}-w_{3})}}.$

Перетворення одиничного кола

Перетворення Мебіуса є автоморфізмом одиничного кола $\ \Delta =\{z:|z|<1\}$ тоді і тільки тоді, коли $a{\bar {b}}=c{\bar {d}}$ та ${\frac {bc}{ad}}$ належать напівінтервалу $[0,\;1)$.

Для сфери Рімана, так і для одиничного кола дробово-лінійними функціями вичерпуються всі конформні автоморфізми. Автоморфізми одиничного кола утворюють дійсну-тривимірну підгрупу групи Мебіуса; кожний з яких виражається у вигляді:

$f(z)=e^{i\varphi }{\frac {z+\beta }{{\bar {\beta }}z+1}},\quad \beta \in \Delta ,\quad |e^{i\varphi }|=1.$

Приклади

Важливим прикладом дробово-лінійної функції є перетворення Келі:

$W(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$

Воно відображає верхню напівплощину в одиничне коло.

Посилання

• Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Перетворення Мебіуса
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М: Наука, 1969. — 577 с. (рос.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), mapping Quasi-conformal mapping, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)
• Галерея конформних відображень (англ.)
• Weisstein, Eric W. Linear Fractional Transformation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.