Інтеграли Френеля
Інтеграли Френеля S(x) і C(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля, використовуються в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля. Визначаються як:
Параметричний графік S(x) і C(x) дає криву на площині, що називається спіраль Корню або клотоїда.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Fresnel_Integrals_%28Normalised%29.svg/250px-Fresnel_Integrals_%28Normalised%29.svg.png)
Інтеграли Френеля можуть бути представлені степеневими рядами, що сходяться для всіх x:
Деякі автори використовують як аргумент тригонометричних підінтегральных функцій . Отримані функції отримуються із означених вище, шляхом стискання графіка по осі Y у разів і розтягненням уздовж осі X у стільки ж разів.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Cornu_Spiral.svg/250px-Cornu_Spiral.svg.png)
Спіраль Корню, також відома як клотоїда, — це крива, що є параметричним графіком S(t) від C(t). Спіраль Корню була придумана Марі Альфредом Корню для полегшення розрахунку дифракції у прикладних задачах.
Оскільки,
то у такій параметризації дотичний вектор має одиничну довжину, тому t є довгою кривою, що вимірюється від точки (0,0). Звідси, дві гілки спіралі мають нескінченну довжину.
Кривина цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, що розміщується між цією точкою та початком координат. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, оскільки кутове прискорення машини, що рухається по цій кривій з постійною швидкістю, буде залишатися сталим.
- C(x) и S(x) — непарні функції x.
- Використовуючи розкладання в ряд, можна побудувати аналітичне продовження інтегралів Френеля на всю комплексну площину. Комплексні інтеграли Френеля виражаються через функцію помилок як
- .
- Інтегралы Френеля не виражаються через елементарні функції, окрім часткових випадків. Границя цих функцій при дорівнює
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Fresnel_Integral_Contour.svg/250px-Fresnel_Integral_Contour.svg.png)
Границі функцій C и S за можуть бути знайдені за допомогою інтегрування по контуру. Для цього обраховується контурний інтеграл функції
по границі сектору на комплексній площині, що утворений віссю абсцис, променем , і колом з радіусом R з центром на початку координат.
При інтеграл по дузі прямує до 0, інтеграл по дійсній осі прямує до значення інтегралу Пуасона
і, після деяких перетворень, інтеграл уздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтегралу Френеля.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) [Архівовано 13 серпня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)
- Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
- Weisstein, Eric W. Cornu Spiral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
- R. Nave, The Cornu spiral [Архівовано 15 листопада 2009 у Wayback Machine.], Hyperphysics (2002) (Використовуює πt²/2 замість t².) (англ.)
- Roller Coaster Loop Shapes. Архів оригіналу за 23 вересня 2008. Процитовано 13 серпня 2008. (англ.)