Народився 27 січня1987 року в місті Мілан. Вихованець футбольної школи клубу «Аталанта» і 2005 року був включений до першої команди, проте був лише третім воротарем після Алекса Кальдероні та Андреа Івана, тому за сезон так і не зіграв у жодному матчі першої команди, граючи лише за «прімаверу», тому з 2006 по 2008 рік по сезону грав в оренді у складі нижчолігових клубів «Самбенедеттезе» та «Ріміні», де був основним воротарем.
Повернувшись влітку 2008 року в «Аталанту», Консільї і в першому сезоні боровся за місце в основі з Фердінандо Копполою, але з наступного став незмінним основним голкіпером команди. У сезоні 2010/11 виступав з командою в Серії В, допомігши їй в першому ж сезоні виграти дивізіон і повернутись в еліту. Загалом відіграв за команду шість сезонів, взявши участь у 201 матчі в усіх турнірах, в яких пропустив 237 голів.
1 вересня2014 року за 3 млн. євро перейшов у «Сассуоло»[1][2]. Дебютував за «нероверде» на «Сан-Сіро» в матчі проти «Інтернаціонале», в якому його команда поступилась 0:7. Незважаючи на це, Андреа відразу став основним воротарем, витіснивши з воріт колишнього головного «порт'єре» Джанлуку Пеголо. У сезоні 2015/16 Консільї допоміг команді зайняти найвище в її історії місце — шосте і на наступний рік дебютувати у Лізі Європи. Ці матчі у єврокубках стали дебютними і для самого Консільї. Наразі встиг відіграти за команду із Сассуоло 72 матчі в національному чемпіонаті.
2003 року дебютував у складі юнацької збірної Італії, взяв участь у 35 іграх на юнацькому рівні, пропустивши 38 голів.
Протягом 2005–2009 років залучався до складу молодіжної збірної Італії, разом з якою був третім воротарем на молодіжному чемпіонаті Європи 2007 року, тому на поле не виходив. Проте вже через два роки на молодіжному чемпіонаті Європи 2009 року Консільї поїхав у статусі основного воротаря і допоміг команді стати півфіналістом турніру. Всього на молодіжному рівні зіграв у 26 офіційних матчах, пропустив 20 голів.