Гранична ознака порівняння (на відміну від пов'язаної ознаки порівняння) — це математичний критерій збіжності, який використовується для визначення збіжності чи розбіжності нескінченного ряду.
Нехай задано два ряди
і
, де
,
для будь-якого
.
Якщо
, причому
, тоді обидва ряди або збіжні або навпаки є розбіжними.
Оскільки
, то для будь-якого
існує натуральне число
таке, що всіх
, виконується нерівність
, що рівносильно:
![{\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7050fd0a371900dea16f48250040fe7ce40fd9)
![{\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2870e51979ef6e9148710fc7445d8a93366ffd)
![{\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058c3a3b541e56853328b863466d3765feaf58f1)
Оскільки
, то можемо обрати
як завгодно малим, щоб
.
Тоді
, і за ознакою порівняння, якщо ряд
є збіжним, то збіжним буде і ряд
.
Аналогічно для
, якщо ряд
є розбіжним, то знову ж таки за ознакою порівняння розбіжним буде і ряд
.
Отже, обидва ряди є збіжними, або розбіжними.
Визначимо, чи буде збіжним ряд
![{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e4a0c927c2cc1d1a302bdddb60b2d8cf74c11)
Для цього порівняємо його зі збіжним рядом
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664617be29449b83fe4c47625907f1713ec4b523)
Оскільки
![{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3847826d13c3b39a6c16d6d2a5bb1c214d818bb2)
тому початковий ряд також є збіжним.
Односторонню версію граничної ознаки порівняння можна сформулювати за допомогою верхньої та нижньої границі.
Нехай
для будь-яких
.
Тоді, якщо
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c,\quad 0\leq c<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9f382bb8dd8a653d65c3aa9bdfeafb5cf6d5be)
є збіжним, тоді ряд
обов'язково буде збіжним.
Нехай
і
для будь-яких
.
Тоді
![{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b6d79b9fa73e64a302680f6214904289493630)
не існує, і в цьому випадку не можна використовувати стандартну версію граничної ознаки порівняння.
Однак
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b677c3516e7ca3903861963bf29bb13e26daf9b)
ряд
є збіжним, і тому згідно з односторонньою версією граничної ознаки порівняння ряд
буде збіжним.
Нехай
для будь-якого
.
Якщо ряд
розбіжний, а
збіжний, тоді обов'язково
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c517f6ee42e57a79c001dcc4dab19695d464ed5)
або
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d87b764a59009e15ed70b7f9ac7652675d12e5)
Головним тут є те, що у деякому сенсі числа
більші за числа
.
Нехай функція
— аналітична на одиничному крузі
![{\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9809c85ea6a2812f0105f5772e13338c9de393bf)
і має образ скінченної площі.
Відповідно до формули Парсеваля площа образу функції
дорівнює
.
Крім того, ряд
є розбіжним.
Отже, згідно з оберненою граничною ознакою маємо
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9f607b807b8ccd5b2f38a5ff9ff838bd0a2567)
тобто
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d65f7e59a680fe70613e4deaa769c81a54fb1f)
- Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50 [Архівовано 31 серпня 2019 у Wayback Machine.]
- Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR [Архівовано 13 травня 2021 у Wayback Machine.])
- J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR [Архівовано 5 грудня 2019 у Wayback Machine.])